Cómo averiguar el valor de los números que tienen potencias fraccionarias

Question

¿Cómo averiguar manualmente el valor de los números que tienen potencias fraccionarias sin utilizar logaritmos ni calculadoras?
Por ejemplo: $2^{1.6}, 3^{2.1}, 5^{3.22}$ etc, sé que podemos averiguar el valor usando logaritmos. Pero quiero saber cómo averiguar el valor manualmente. Las calculadoras pueden encontrar fácilmente los valores. Eso significa que se debe construir alguna lógica para encontrar el valor. Por favor, ayúdame a saber esto?

Answer 1

Lo que D.L. dio como respuesta es una buena manera que puede ser ligeramente mejorada para una convergencia más rápida de la serie.

Supongamos que escribimos $x=\lfloor x\rfloor+y$ . Así que podríamos usar $$a^x=a^{\lfloor x\rfloor }\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(ln(a).y)^n}{n!}$$ Esto podría ser para $y<\frac{1}{2}$ . De lo contrario, deberíamos utilizar $x=\lceil x\rceil-y$ y utilizar $$a^x=a^{\lceil x\rceil}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-ln(a).y)^n}{n!}$$ Por lo tanto, tienes potencias enteras de $a$ y unos pocos logaritmos para recordar.

Answer 2

Puede utilizar la fórmula $a^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln(a).x)^n}{n!}$ y calcular los primeros términos. Sólo tendrás que saber $\ln(a)$ . Pero es tal vez lo que usted llama método de logaritmos ?

Por ejemplo, $2^{1.6}= 3,03$ y $1+ \ln(2).1,6 + \frac{(\ln(2).1,6)^2}2=3,09 $ con la aproximación $\ln(2)=0,8$ .