Demostrar la descomposición mediante el teorema de la función implícita

Question

Consideremos la ecuación de difusión de la reacción $u_t=u_{xx}+f(u)$ y una solución de onda viajera $V(x,t)=\phi(\xi)$ con $\xi=x-ct$ . Entonces $V$ es un equilibrio de $$ u_t=u_{\xi\xi}+cu_\xi+f(u). $$ Linealización en $V$ da el operador lineal $$ L_c:=\partial_{\xi\xi}+c\partial_\xi+f'(V) $$ que es autoadjunto si y sólo si $c=0$ .

Realización del cambio de variables $u(\xi,t)=e^{c/2}v(\xi,t)$ da el operador autoadjunto $$ \tilde{L}_c:=\partial_{\xi\xi}+f'(V)-\frac{c^2}{4}. $$

El núcleo de $\tilde{L}_c$ está atravesado por $e^{c/2}V'$ .

Me gustaría demostrar que una solución $u(\xi,t)$ puede descomponerse en la suma $$ u(\xi,t)=\underbrace{V(x-ct-q_1(t))}_{=:V_1(\xi,t)}+\underbrace{V(x-ct-q_2(t))}_{=:V_2(\xi,t)}+r(\xi,t) $$ donde $r(\xi,t)$ basta con las condiciones de ortogonalidad $$ \int_\mathbb{R}e^{c\xi}r(\xi,t)V'(\xi-q_1(t))\, d\xi=\int_\mathbb{R}e^{c\xi}r(\xi,t)V'(\xi-q_2(t))\, d\xi=0. $$

La condición inicial es $$ u(x,0)=V(x-q_1(0))+V(x-q_2(0)). $$

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La pista que me dieron fue utilizar el Teorema de la Función Implícita para $(q_1,q_2)$ . Pero no sé exactamente cómo hacerlo.

Answer 1

Una pista: Comience por definir los funcionales $$ Y_1(q_1,q_2,u):=\int_\mathbb{R}e^{c\xi}(u(\xi,t)-V_1(\xi,t)-V_2(\xi,t))V'(\xi-q_1)d\xi, $$ $$ Y_2(q_1,q_2,u):=\int_\mathbb{R}e^{c\xi}(u(\xi,t)-V_1(\xi,t)-V_2(\xi,t))V'(\xi-q_2)d\xi. $$ Entonces tienes que demostrar que $Y_1(0,0,V_1+V_2)=Y_2(0,0,V_1+V_2)=0$ . Una vez que tienes todo esto, tienes que calcular $$ \frac{\partial Y_1}{\partial q_1}, \quad \frac{\partial Y_1}{\partial q_2}, \quad \frac{\partial Y_2}{\partial q_1}, \quad \frac{\partial Y_2}{\partial q_2}. $$ Por último, demuestre que la matriz $$ \left(\dfrac{\partial Y_i}{\partial q_j}\right)(0,0,V_1+V_2),$$ es una matriz invertible*. El último paso consiste en definir correctamente los parámetros de modulación considerando el factor $-ct$ . Para ello, basta con observar que en el cálculo anterior se podía añadir un parámetro de traslación arbitrario $q_3\in\mathbb{R}$ dentro de $V_1,V_2,V'$ sobre la definición de los funcionales $Y_i$ que no afecta a ninguno de los cálculos anteriores.

No dude en preguntarme si tiene alguna duda.

*Edición: Observe que en este punto ya es capaz de aplicar el Teorema de la Función Implícita. La última parte es sólo para escribir con rigor que se puede hacer esto para cada vez $t\in\mathbb{R}$ . A grandes rasgos, sólo estás modulando en cada momento.