Resolución de la EDO no lineal de segundo orden no homogénea (coeficientes constantes)

Question

Estoy tratando de encontrar una forma de resolver la siguiente EDO no lineal de segundo orden:

$$y''=y^2+y'+t$$

con las condiciones iniciales

$$y(1)=0, y'(1)=1$$

He considerado multiplicar ambos lados por $y'$ pero eso no parece especialmente esclarecedor (al menos para mí) debido a la $y'$ y el $t$ ya en el problema.

También he pensado en algún tipo de factor integrador, o tal vez hacer una sustitución como $u=y^2$ para hacer esto lineal, pero eso sólo parece complicar las cosas. Actualmente, estoy pensando que podría necesitar convertir esto en una ecuación vectorial de primer orden, pero incluso haciendo esto me tiene un poco perplejo al tratar con las ecuaciones escalares de primer orden resultantes.

¿Alguna idea? También agradezco cualquier recomendación general sobre recursos para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden. Se me dan bien las ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes, pero en cuanto se complican, me entra el pánico. Gracias.

Answer 1

Se puede transformar la forma homogénea de la EDO de segundo orden en una EDO de primer orden (no lineal) introduciendo $w(y) = y'$ (ver aquí ), que da como resultado \begin{equation} w \frac{\text{d} w}{\text{d} y} = w + y^2. \end{equation} Esta es una forma de la ecuación de Abel del segundo tipo. Las versiones resolubles de esta ecuación se enumeran aquí Tabla 1: sin embargo, su versión ( $s=0$ , $m=2$ ) no aparece en esa lista.

Basándome en lo anterior, no creo que tu EDO de segundo orden tenga una solución analítica.