W. H. Schikhof en su libro sobre el cálculo ultramétrico propone resolver el siguiente problema:
Ejercicio 23.J (van Hamme) Utilice las ideas del ejercicio anterior para demostrar que en $\mathbb Q_p$ ( $p \neq 2$ ): $$S_p := \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2 (n+1)!}{4^n+1} = -1.$$
El ejercicio anterior simplemente establece que en cada $\mathbb Q_p$ tenemos $\sum_{n \ge 0} n \cdot n! = -1$ . La serie converge claramente al menos en $\mathbb Q_3$ , donde $|4^n + 1|_3 = 1$ independientemente de $n$ y $|(n+1)!|_3$ tiende a cero, y podemos invocar el famoso teorema ultramétrico relativo a la convergencia de las series (la condición de convergencia necesaria también es suficiente).
Sin embargo, la investigación de la serie $S_3$ en Pari-GP revela que no se acerca realmente a $-1$ , como $$1 + S_3 = 2 + 3 + 2\cdot 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^7 + 2 \cdot 3^{10} + \ldots $$
En ese caso tengo que preguntar cuál es el límite adecuado de $S_p$ y dónde puedo encontrar el documento original escrito por van Hamme donde deriva implícitamente el valor de $S_p$ ?
