Encuentre algunas informaciones sobre un Espacio

Question

Dejemos que $W=\{(x,y,z):x-2y+z=0\}$ Quiero encontrar:

1. La base de W
2. Proyección de u=(1,1,2) sobre W
3. La dimensión de W
4. El complemento ortogonal de W ( $W^{\bot}$ )
5. La dimensión de $W^{\bot}$
6. Base de $W^{\bot}$

Entonces, hice lo siguiente, pero no estoy seguro de ello.

1. Encuentra un conjunto de soluciones L.I. para la ecuación. Eso me da (2,1,0) y (0, 1, -2) $\in \mathbb{R}^3$ y $S=\{(2,1,0) ; (0, 1, 2)\}$
2. No sé cómo proyectar un vector sobre un espacio. Pensé que podía usar una de las bases y proyectar u sobre cada base. ¿Cómo debo hacerlo?
3. Como sólo tengo un conjunto de dos bases para W, entonces creo que la dim(W)=2. ¿Estoy en lo cierto?
4. Tampoco estoy seguro de cómo hacerlo, pero me parece lógico que cada vector en $W^{\bot}$ cuando se hace un producto interno con un vector en W debería dar como resultado 0. Así que hice $(x,y,z) \cdot (2,1,0)^{\bot}$ y eso me dio (-1, 2, z) y $(x,y,z) \cdot (0,-1,2)^{\bot}$ que me dio (x, 2, 1) pero luego me di cuenta que esta es la respuesta para el ítem número 6 y respondería al ítem número 5 ya que hay dos bases y ellos dim( $W^{\bot}$ )=2. Entonces, ¿cómo debo hacerlo?

Además, ¿qué es un espacio nulo, un espacio de columna y un espacio de fila en ese caso? EDITAR Corregida la segunda base.

Answer 1

1. Creo que has cometido un error aritmético. Para el primer vector estás bien, pero para el segundo obtienes $x-2y+z=0-2-2=-4 \neq 0$ .

2. La fórmula general para la proyección sobre el tramo de una colección de vectores es $Px=A(A^T A)^{-1}A^Tx$ donde las columnas de $A$ son una base para el espacio en cuestión. Si tu base es ortogonal, esto equivale a proyectar sobre cada elemento de la base y sumar el resultado.

3. Correcto; su base para $W$ junto con cualquier otra base tiene dos elementos.

4-6. Obsérvese que

$$x-2y+z = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} = 0$$

¿Qué sugiere esto sobre el complemento ortogonal de $W$ ? (El resultado que se explora en el 4-6 se denomina a veces teorema de los subespacios fundamentales, que es un refinamiento del teorema de la nulidad de rango).