Cómo mostrar para una matriz normal $A$ , $(A,\lambda,x) \Leftrightarrow (A^*,\bar{\lambda},x)$ ?

Question

Una matriz $A$ es normal si $AA^*=A^*A$ . Supongamos que $(\lambda,x)$ es un par propio de $A$ es decir, $Ax = \lambda x$ . Prueba para una matriz normal $A$ , $(\lambda,x)$ es un par propio de $A$ si y sólo si $(\bar{\lambda},x)$ es un par propio de $A^*$ .

Mi intento:

Tenemos $Ax = \lambda x$ y quieren mostrar $A^*x=\bar{\lambda}x$ . Tomando la transposición conjugada tenemos $x^*A^* = \bar{\lambda} x^*$ . Ahora podemos escribir $x^*A^* A= \bar{\lambda} x^*A$ utilizando el hecho de que $A$ es normal, tenemos $x^*A A^*= \bar{\lambda} x^*A$ . Ahora no sé cómo conseguir $A^*x=\bar{\lambda}x$ .

Answer 1

Con probar una dirección es suficiente. Piensa en la norma. La igualdad en el espacio normado significa cero en la norma: $\Vert (A-\lambda I) x \Vert = 0$ y luego tomar la transposición en el interior: $\Vert x^* (A^*- \lambda I) \Vert = 0$ . Eleva al cuadrado ambos lados y aplica la condición dada de que $A$ es normal obtener $$x^* AA^* x +\Vert \lambda\Vert^2 x^* x -\bar{\lambda} x^* A x - \lambda x^* A^* x.$$ Factorice esto en $\Vert (A^*-I) x \Vert^2 = 0$ .