Probabilidad de una variable aleatoria continua

Question

Puede que esta sea una pregunta muy estúpida pero... Deja que $X$ sea nuestra variable aleatoria continua.

Desde $ P(X=c) = 0$ donde C es una constante cualquiera, ¿significa eso que $P(a \le x \le b) = P(a < x \le b) = P(a \le x < b) = P(a < x < b)$

¿es cierto lo anterior? si no es así ¿por qué?

Answer 1

Sí, es cierto. Para las medidas de probabilidad, nos gustaría que se cumpliera lo siguiente: Si $A$ y $B$ son resultados disjuntos, entonces requerimos $P(A\text{ or } B)=P(A)+P(B)$ . Como esto es así, podemos decir que \begin{align*} P(a\leq x\leq b)&=P(a\leq x<b \text{ or }x=b)\\ &=P(a\leq x<b)+P(x=b)\\ &=P(a\leq x<b)+0\\ &=P(a\leq x<b). \end{align*} Del mismo modo se pueden deducir las otras igualdades.