Cómo demostrar que se trata de un subgrupo normal.

Question

En $S_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}$ el grupo formado por todas las permutaciones del conjunto $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ consideramos el subgrupo G dado por

G:= { ${f_{a,b}: x \rightarrow ax + b | a \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*, b \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} }$ }

En G tenemos los siguientes dos subgrupos:

• H = { $f_{a,0} \in G | a \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^* $ }

• N = { $f_{1,b} \in G | b \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} $ }

Tengo que responder a las siguientes 3 preguntas.

1) Explica por qué N es un subgrupo de G, y por qué este subgrupo es un subgrupo normal.

2) Demuestre que HN es igual a G

3) Demuestre que G/N $\cong$ $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$

Cualquier ayuda sería agradecida, ya que aún no empezamos el curso y porque no tengo conocimientos de Teoría de Grupos.

Answer 1

Para 1. La inversa de un elemento $f_{a,b}\in G$ viene dada por $$f_{a,b}^{-1}(x)=a^{-1}(x-b).$$ Dejemos que $f_{1,c}\in N$ . Tenemos $$f_{a,b}f_{1,c}f_{a,b}^{-1}(x)=f_{a,b}(a^{-1}(x-b)+c)=x+ac,$$ así que $f_{a,b}f_{1,c}f_{a,b}^{-1}\in N$ . Por lo tanto, $N$ es normal en $G$ .

Para 2. Tenemos

• $N\cap H=\{\mathrm{id}\}$ (porque $f_{a,b}\in N\cap H\Rightarrow a=1,b=0$ )
• $$f_{a,0}f_{1,b}(x)=a(x+b)=ax+ab,$$ por lo que cada elemento $f_{a,b}\in G$ puede escribirse como $$f_{a,b}=f_{a,0}f_{1,a^{-1}b}$$
• $N$ es normal en $G$ .

De ello se desprende que $G$ es el producto interno $HN$ .

Para 3. $G/N\simeq H\simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$ . También se puede probar directamente notando $$f_{a,b}f_{c,d}^{-1}\in N \Leftrightarrow a=c,$$ por lo que se tiene un homomorfismo $G/N\to (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*,\; f_{a,b}N\mapsto a$ que obviamente es una biyección.