La corriente de base del NPN es aproximadamente VOUT/R2/beta. R1 se elige para que VBE/R2 sea >> esa corriente de base. Nótese que este valor es casi constante ya que VBE sólo cambia ligeramente cuando cambia la corriente del transistor.
La corriente en el JFET es la suma de estas corrientes, pero como la corriente de R1 es mucho mayor que la de la base, la corriente del JFET también es bastante constante. Por lo tanto, la VGS del JFET es constante, y en última instancia VOUT sigue a VIN con un desfase de la VGS del JFET y la VBE del NPN.
Esto (como gran parte de la electrónica) es una aproximación. En la práctica, podría tener una ganancia de alrededor de 0,9 en lugar de 1,000.
Calcular con más precisión no merece la pena, porque las variaciones entre dispositivos, las variaciones de temperatura (y las no idealidades) anularán los demás errores. Sin embargo, la forma de proceder es:
A partir de VOUT, calcular el IE del NPN = VOUT/R2. La corriente de base es esta /(1+b) == VOUT/(R2(1+b)). El VBE del NPN depende del log10 de la corriente -- VBE = 26mV*log10(IE/I0), donde I0 es un parámetro del NPN.
Ahora calcula la corriente de R1 (= VBE/R1). Súmala a la corriente de la base para obtener la corriente de la fuente del JFET. Utiliza las ecuaciones de ley cuadrada del JFET para calcular la VGS del JFET.
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Utilice un paquete de simulación de libre acceso (y gratuito). Demostrar que Vgs es estable carece de sentido en el contexto de tu pregunta.
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Enhorabuena por intentar resolver esto por tu cuenta; el mundo necesita más pensadores originales. Le sugiero que intente LTspice (funcionará en Linux bajo Wine); recuerda que Vss está por debajo de 0V así que tendrás que polarizar el FET (voltaje de entrada) adecuadamente.
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Su primera línea, a la derecha, tiene la ecuación que debe resolver para \$V_{_\text{GS}}\$ . Ese resultado sólo depende de los parámetros del modelo para el JFET (notoriamente variable) y la corriente de drenaje, que en estos circuitos se establece por un disipador de corriente autoajustable de algún tipo. Creo que eso es todo lo que sugiere el artículo al respecto. En cuanto a tu pregunta, ¿preguntas sólo por el funcionamiento del propio circuito BJT dentro de este circuito? (Y no preguntando por el caso del doble JFET derecho).