La prueba completa está disponible en línea de forma gratuita página 46, Teorema 4.2.6 donde Weibel demuestra que $L_*F$ es un a $\delta$ -funcionario. Para una secuencia exacta $$0 \rightarrow A' \rightarrow A \rightarrow A'' \rightarrow 0,$$ queremos demostrar la naturalidad del homomorfismo de conexión $$\partial_i: L_iF(A'') \rightarrow L_{i-1}F(A').$$
Weibel afirma 
No entiendo: qué es "el homomorfismo de conexión" y cómo se deriva una secuencia larga exacta del diagrama dado.
Quiere demostrar que $L_*F$ define un functor de la categoría de secuencias exactas cortas a la de secuencias exactas largas. Para ello, se quiere demostrar que si se tiene un mapa $t:S\to T$ entre secuencias exactas $S:A''\to A\to A'$ y $T:B''\to B\to B'$ el "diagrama de escalera" infinito entre las LES de $S$ y $T$ de viaje.
Es evidente que conmutan en todas partes excepto posiblemente en el cuadrado que implica el morfismo de conexión de $L_*F$ . Ahora Weibel observa que este diagrama de escalera de las LES se obtiene resolviendo el morisma $t$ es decir, produciendo un morfismo de SECs de resoluciones proyectivas, como has escrito, y utilizando la LES sobre la homología después de aplicar $F$ .
El morfismo de conexión en las LESs procedentes de las SECs de resoluciones definen la de los funtores derivados, por lo que para demostrar que el morfismo de conexión de $L_*F$ es natural, basta con demostrar que el morfismo de conexión para homología que define un functor de SECs de complejos a LESs de grupos abelianos es natural.
Esta última afirmación se consigue mediante una sencilla, aunque quizá algo tediosa, persecución de flechas, que creo que hace Weibel en su libro.
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