Comportamientos extraños de las probabilidades finitamente aditivas

Question

Viendo una conferencia en youtube escuché al conferenciante afirmar que en general probabilidades finitamente aditivas se comporta extrañamente . Por ejemplo, es posible que todo intervalo abierto alrededor de un punto $x$ tiene probabilidad $1/2$ , mientras que $p(\{x\})=0$ .

Esto me llevó a varias preguntas:

1. ¿Hay alguien que pueda explicar cómo se llega a este resultado concreto?
2. ¿Cuáles son otros ejemplos de comportamiento extraño de las probabilidades finitamente aditivas?
3. Por qué -en general- las probabilidades contablemente aditivas nos permiten evitar este tipo de extraño ¿Situaciones?

Como siempre, cualquier comentario será bienvenido.
Gracias por su ayuda y su tiempo.

[Sólo para subrayar un punto, al ser autodidacta, confío ocasionalmente en los vídeos de youtube, pero soy muy selectivo en cuanto a la procedencia de los vídeos. En este caso, el conferenciante era un teórico de primera línea de una universidad de primera línea].

Answer 1

Con la aditividad contable, es fácil demostrar la continuidad de la medida desde abajo y desde arriba. Es decir, la medida de una unión contable creciente es el límite de las medidas de las uniones finitas. Lo mismo ocurre con las intersecciones decrecientes siempre que uno de los conjuntos tenga medida finita (lo que se cumple para la probabilidad, por supuesto). Esto evitaría tu caso, ya que daría $ P (\{ x \}) =1/2$ .

Básicamente, si sólo se asume la aditividad finita, no se pueden hacer procesos límite de ningún tipo.

Desgraciadamente, anotar un ejemplo de tal objeto en un "rico" $\sigma $ -como los subconjuntos medibles de Lebesgue de los reales es imposible, porque su inexistencia es consistente con ZF.

Answer 2

Las medidas de probabilidad definidas por los axiomas de Kolmogorov (que incluyen la aditividad contable) son set-continuo: la probabilidad de un límite es el límite de las probabilidades. Si se niega la aditividad contable y se acepta sólo la aditividad finita, entonces esta propiedad de continuidad del conjunto ya no es aplicable.

Consideremos la siguiente noción del Cálculo 101 (que quizás se pueda describir como el estudio de las propiedades de las funciones continuas). Supongamos que $f(x)$ es una función que se aproxima a un límite $L$ como $x \to a$ . Entonces, es no necesario que $f(a)$ sea igual a $L$ ; $f(a)$ puede tener cualquier valor arbitrario. Pero cuando $f(a)$ hace igual $L$ decimos que $f(x)$ es continua en $a$ . Si $f(x)$ es continua en todo $a \in (-\infty,\infty)$ la llamamos función continua. Del mismo modo, la aditividad contable nos da la continuidad del conjunto para todos los eventos en el $\sigma$ -pero la aditividad finita no.