Si $\Phi(x)$ es la matriz de solución fundamenta del sistema $\dot{x}=Ax$ y $\Phi(0)=E$ ( matiz de identidad) , lo que es $\Phi^{-1}(x)$ ?

Question

Si $\Phi(x)$ es la matriz de solución fundamenta del sistema $\dot{x}=Ax$ ,( $A$ es una matriz constante) y $\Phi(0)=E$ ( matiz de identidad) , lo que es $\Phi^{-1}(x)$ ?

Tengo la intención de encontrar la expresión de $\Phi^{-1}(x)$ . Por $\Phi(0)=E$ podemos obtener $\Phi(x)\cdot\Phi^{-1}(x_0)=\Phi(x-x_0)$ por el teorema de unicidad. Pero estoy confundido sobre cómo conseguir otro paso. Cualquier pista sería útil.

Answer 1

$\Phi(x)=e^{xA}E$ , $\Phi^{-1}=E^{-1}e^{-xA}=e^{-xA}$ si $E$ es la matriz de identidad.