Resolver $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}(\frac{1}{n})$ utilizando el Teorema de Abel

Question

Estoy buscando ayuda con un problema de análisis real que tengo.

Problema: Hallar la suma de la serie $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}(\frac{1}{n})=1-(1/2)+(1/3)-(1/4)+\ldots $

Lo que tengo hasta ahora: Mi intuición me sugiere que podría utilizar el teorema de Abel que dice que si $G(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k}$ es una serie de potencias con coeficientes reales converge y el radio de convergencia es 1, entonces $\lim_{x\to1^{-}}G(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k$ .

Entonces intenté reescribir la serie de potencias dada en el problema para tener un índice inicial de 0. $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}(\frac{1}{n})=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{1}{k+1}=\lim_{x\to1^{-}}\ln(1+x)=ln(2)$ que creo que se mantendría porque el radio de convergencia de $\ln(1+x)$ es 1. No estoy seguro de si es la idea correcta o no.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\begin{split} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n} & =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n+1}\\ &=\sum_{n=0}^{+\infty}\int_0^1(-1)^{n}x^ndx\\ &=\int_0^1 \sum_{n=0}^{+\infty}(-x^n)dx \end{split} $$ donde la integral y la suma se pueden intercambiar por el teorema de convergencia dominada. En efecto, $$\left|\sum_{n=0}^N(-x)^n \right|=\frac{1-(-x)^{N+1}}{1+x}\leq\frac{1}{1+x}$$ En consecuencia, $$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}=\int_0^1\frac 1 {1+x}dx = \ln 2$$

Edición: Me he dado cuenta de que el PO pedía explícitamente utilizar el teorema de Abel. Así que no estoy respondiendo exactamente a la pregunta. Lo siento por eso. Dejando esto aquí, en caso de que sea útil.

Answer 2

Creo que se puede utilizar la prueba de Leibniz (un caso especial del teorema de Abel), ya que la serie es alterna y decreciente.

Es decir, la serie se alterna y $\mid a_{n+1}\mid\lt\mid a_n\mid$ . Así que converge.

Su idea parece ser correcta. Véase Teorema de Abel .