¿Por qué es $ 2\binom nm^2<n^{2m}$ ?

Question

$\forall n\geq2 \forall m\geq2,$ $$ 2\binom nm^2<n^{2m}.$$

¿Por qué la desigualdad anterior, que es equivalente a $ \binom nm<\frac{n^m}{\sqrt 2}$ ¿Es cierto?

Answer 1

$$\binom nm =\frac {n (n-1) ... (n-m+1)}{m!} < \frac{n^m}{m!}$$ Así, si $m \geq 2$ $$\binom nm^2 < \frac{n^{2m}}{m!^2} < \frac{n^{2m}}{2}$$ ¡Pero tu atadura es muy burda!