Demostrar que un subconjunto particular de $\mathbb{R}$ es contable.

Question

Llevo unos días intentando resolver este problema y siento que me falta algo grande.

Dejemos que $ X \subseteq \mathbb{R}_{>0} $ para que haya un $C > 0$ tal que para cada subconjunto finito $\{x_1,...,x_n\} \subseteq X$ es cierto que $ \sum _{i=1} ^n x_i \leq C$ . Demostrar que $X$ es contable.

He conseguido demostrar que $X$ no puede tener un intervalo dentro de él (es decir $\nexists \, a,b \in \mathbb{R}_{>0}$ para que $[a,b] \subseteq X$ ), y esa misma prueba puede extenderse al caso en que $X$ es denso dentro de un intervalo con bastante facilidad, pero no puedo llevarlo más lejos. Así que ahora tengo que demostrar que si $\left\vert{S}\right\vert = c $ entonces una de ellas se sostiene (no se me ocurre un contraejemplo pero tampoco se me ocurre una prueba) o hacer algo totalmente distinto.

Estoy seguro de que hay una forma mucho mejor de ver esto, pero no la encuentro. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Si $X$ es incontable, existe un subconjunto contable $A$ de $X$ tal que cada punto de $X\setminus A$ es un punto de acumulación de $X\setminus A$ ; hay una prueba aquí (y estoy bastante seguro de que en otras partes del sitio también). Ahora arreglar $x\in X\setminus A$ y $\epsilon>\frac{x}2$ y considerar $(x-\epsilon,x+\epsilon)$ .

Como alternativa, y aún más fácil, deja que $X_n=\{x\in X:x\ge 2^{-n}\}$ para cada $n\in\Bbb N$ y observe que si $X$ es incontable, algunos $X_n$ debe ser incontable y, por lo tanto, infinito y obtener una contradicción fácil.