El precio es de derecho óptimo juego

Question

La siguiente situación que ocurrió en el Precio es Correcto y tenía curiosidad acerca de la respuesta óptima. Las reglas son: Un concursante rollos de una rueda con 5% en incrementos de 5 - 100 (20 números en total). Un concursante puede elegir para hacer girar la rueda una vez y aceptar el número de la rueda de aterrizar en (la estancia) o giro de nuevo y que este nuevo número, sumado al número anterior. Si el concursante tiene un número que es más de 100 centavos se pierde automáticamente. El objeto del juego es hacer rodar el número más alto de una serie de concursantes.

GirlA rodó una vez y laminado de 60 centavos de dólar. GirlA sabe GirlB va a jugar después. Debe GirlA rollo de nuevo? A qué número es el valor esperado neutral / en qué rango de números debe GirlA estancia? Si hay más de un jugador por detrás, ¿qué rango de números es la mejor manera de permanecer en?

Answer 1

Voy a mirar a los dos jugadores de la versión, aunque si mal no recuerdo el programa de TELEVISIÓN fue para tres jugadores. También, en lugar de los valores de 5 a 100 en pasos de 5, WLOG considerar que la rueda de la 1 a la 20.

Bueno, yo creo que la primera cosa que hay que averiguar es, si el jugador se retira con valor de $x$, lo que es probablemente el jugador dos victorias? Se puede obtener más de $x$ en su primera tirada, o con dos rollos:

• golpear $y$ en el primer rollo
• afectó a más de $x - y$ pero no más de $20 - y$ en el segundo rollo

La probabilidad de que el segundo jugador en Ganar en un rollo es entonces

$$\sum_{y=x+1}^{20}\frac{1}{20} = \frac{20 - x}{20}$$

y ganar en dos rollos es

$$\sum_{y=1}^x\overbrace{\frac{1}{20}}^\text{Chance of hitting y} \times \underbrace{\sum_{z=x - y + 1}^{20-y}\frac{1}{20}}_\text{Chance of hitting a winning second roll}$$

$$=\frac{1}{20\times 20}\sum_{y=1}^x \sum_{z=x - y + 1}^{20-y} 1$$

$$=\frac{1}{20\times 20}\sum_{y=1}^x 20 - x$$

$$=\frac{20x - x^2}{20\times 20}$$

Así que si el jugador 1 se retira con $x$, entonces la probabilidad de que el segundo jugador gana es $p_2(x) = \frac{20 - x}{20} + \frac{20x - x^2}{20\times 20} = \boxed{1 - \frac{x^2}{400}}$

Ok, así que ahora tenemos que responder a la segunda parte: si el jugador 1, y sacas $x$, debe usted volver a lanzar? Para esto se debe calcular la probabilidad de ganar si rebollo, y la probabilidad de ganar si no rebollo, y elegir la que es más grande.

Si usted rebollo, con el fin de ganar:

• rollo de valor de $z$ $1$ $20 - x$ incluido
• el jugador 2 debe perder con el jugador 1 de retirarse en $x + z$

$$\begin{align} \text{reroll win chance} &= \sum_{z = 1}^{20 - x} \frac{1}{20} (1 - p_2(x + z)) \\ &= \frac{1}{20} \sum_{z = 1}^{20 - x} \frac{(x+z)^2}{400} \\ &= \frac{1}{20^3} \sum_{z = 1}^{20 - x} x^2+2xz +z^2 \\ &= \frac{1}{20^3} \left((20-x)x^2+2x\frac{(20 - x)^2 + (20 - x)}{2} +\frac{(20-x)((20-x)+1)(2(20-x)+1)}{6} \right)\\ &= \frac{17220 - x - 3x^2 -2x^3}{48000} \end{align}$$

Si no rebollo, la probabilidad de ganar es $1 - p_2(x) =\frac{x^2}{400}$.

Resumido así:

$$\newcommand{\%}{{\mathrm{c}\mkern-6.5 mu{\mid}}} \begin{array} {|c|c|c|} \text{Player 1 first roll} & \text{Winning chance if reroll} & \text{Winning chance if stay} \\ 5 \cent & 0.358625 & 0.0025 \\ 10 \cent & 0.358125& 0.01 \\ 15 \cent & 0.357 & 0.0225 \\ 20 \cent & 0.355 & 0.04 \\ 25 \cent & 0.351875& 0.0625 \\ 30 \cent & 0.347375& 0.09 \\ 35 \cent & 0.34125 & 0.1225 \\ 40 \cent & 0.33325 & 0.16 \\ 45 \cent & 0.323125& 0.2025 \\ 50 \cent & 0.310625& 0.25 \\ \hline 55 \cent & 0.2955 & 0.3025 \\ 60 \cent & 0.2775 & 0.36 \\ 65 \cent & 0.256375& 0.4225 \\ 70 \cent & 0.231875& 0.49 \\ \hline 75 \cent & 0.20375 & 0.5625 \\ 80 \cent & 0.17175 & 0.64 \\ 85 \cent & 0.135625& 0.7225 \\ 90 \cent & 0.095125& 0.81 \\ 95 \cent & 0.05 & 0.9025 \\ 100 \cent & 0 & 1 \end{array}$$

Así que el jugador 1 debe lanzar si él consigue nada menos que $x=11$ o 55 centavos. Pero a menos que reciba, al menos, el 75 centavos, él probablemente va a perder de todos modos. Eso es bastante injusto juego, el jugador 1 tiene sólo un ${6 \over 20}$ de probabilidades de ganar la general.

Answer 2

Larga historia corta: Ella no debe rodar de nuevo.

Suponiendo que Una Chica no girar de nuevo, tenemos las siguientes posibilidades.

Caso 1: es evidente que hay un $\frac{8}{20}=\frac{2}{5}=40$% de probabilidad de que la Chica B rollos (estrictamente) mayor de 60 (en cuyo caso, la Chica B gana). En este caso, la Chica B tiene (y presumiblemente gana).

Caso 2: Niña de B rollos de menos de o igual a 60. Este resultado es $60$% probable. Entonces, la Niña de B debe rodar de nuevo para vencer niña A. tenga en cuenta que si la Chica B rollos de una $5n$ en su primer intento, donde $n\in \{1,...,12\}$, la probabilidad de su balanceo "de más" es $5n$%. ¿Qué Chica B necesita para rodar lo suficiente para que su puntuación es mayor de 60 (y no superior a 100)$\{60-5(n-1),...,100-5n\}$. Esto ocurre $\frac{8}{20}=40$% del tiempo.

Poniendo todo esto junto, si Una Chica se queda en 60, entonces la Chica B tiene un $.4+.6\cdot.4 =.4+.24=.64=64$% de probabilidad de obtener una puntuación más alta que la Niña A.

Ahora, si Una Chica decide a tirar de nuevo, ella tiene un $60$% de rodar (o perdiendo de inmediato). Dada esta nueva partitura, decir $5m$ (que no es un roll over), tenemos que la Chica B puede ganar en su primer tiro o se vuelve a tirar. Tenga en cuenta que $m\in \{13,...,20\}$.

Caso 1: Niña de B rollos mayor que Una Chica (en el caso de que $m\neq 20$) tenemos esta es $100-5m$%.

Caso 2: Niña de B rollos menor o igual que la Niña de A. Esto ha probabilidad de $5m$%. Supongamos que la Chica B rollos $5t$. Entonces, la probabilidad de que la Chica B, en su segundo turno, se hace mayor que Una Chica, pero no, rodando, tenemos $\{5m-5(t-1),...,100-5t\}$.

Ahora, tenemos que poner esto juntos para llegar a nuestra última respuesta: La probabilidad de que Una Chica no voltearse y Chica B golpeo a su es $(.4)(\sum_{i=1}^8(.1)(\frac{8-i}{20}))=(.4)(\frac{7}{50})=(.4).14=0.056$. Por lo tanto, la probabilidad de Chica perdiendo la es $.6+0.056=.656=65.6$%.

En conclusión, Una Chica se encuentra en una muy difícil posición. Hay un $65.6$% de posibilidades de perder si ella se da una y sólo una $64$% de posibilidades de perder si ella decide no ruede. Por lo tanto, es muy cerca, pero que no debe tirar de nuevo.

Answer 3

He hecho una función de python para la prueba de este problema.Voy a poner el código en la parte inferior y se puede probar en este sitio.

Por favor, tenga en cuenta que he utilizado un 1 a 100 el sistema en lugar de un 1 a 20 sistema.

Desplácese hasta la parte inferior para la conclusión

He encontrado que cuando el primer número que se hila llega a 50 las probabilidades de ganar y perder son aproximadamente iguales.

Sin embargo, como el número de la primera tirada es mayor, la cantidad promedio de ganancia de las gotas.

Aquí hay 3 pruebas de cada uno con 100.000 vueltas.(Tenga en cuenta que estos son sólo aproximaciones)

Cuando el número que ha salido en su primera tirada es de 40.

Wins:59473
Losses:40527
Average gain:30.46

Cuando el número que ha salido en su primera tirada es de 50.

Wins:49593
Losses:50407
Average gain:25.505

Cuando el número que ha salido en su primera tirada es de 60.

Wins:39597
Losses:60403
Average gain:20.466727277318988

Como se puede ver, cada vez que el número que se le hace girar a primera aumentado en un 10, el promedio de la cantidad obtenida se disminuye en 5.

La conclusión obvia es que si usted rodó una de 60, que definitivamente no debe girar de nuevo. El más alto del rollo eran las probabilidades estaría en su favor sería un 45.

from random import randint

def test(spin):
    w=0
    l=0
    gain=0
    wins=0
    tests=1000
    for i in range(tests):
        new=spin+randint(1,101)
        if new>100:
            l+=1
        else:
            w+=1
            gain+=new-spin
            wins+=1

    return ("Wins:"+str(w)+"\nLosses:"+str(l)+"\nAverage gain:"+str(gain/wins))



#Set This equal to the number the person spun first
first_spin=50

print(test(first_spin))

Answer 4

De hecho, hay un artículo publicado sobre la cuestión:

"A la vuelta o No A la vuelta? Natural y Experimentos de Laboratorio a partir de El Precio es Correcto", Rafael Tenorio y Timoteo N. Cason, El Diario Económico de 2002.

Tu pregunta está contestada en la proposición 1:

Debe girlA rollo de nuevo?

No.

A qué número es el valor esperado neutral / en qué rango de números debe girlA estancia?

50 ella es indiferente y >50 ella debe permanecer.

Si hay más de un jugador por detrás, ¿qué rango de números es mejor para permanecer en?

Para 3 muestran que el 65 es el número de permanecer por un mayor número de jugadores? Ni idea (y realmente no es fácil derivar como usted tiene que volver a calcular las estrategias de todos los demás).

Btw: afirman que el Concursante 1 gana 30.82% del tiempo, el Concursante ganadora de 2 carreras 32.96% del tiempo, y el Participante 3 victorias 36.22% del tiempo.

Answer 5

Más sobre este problema en el papel P.Coe y W. Butterworth, óptimo en el enfrentamiento de escaparate, estadístico americano, 49, 1995, p. 271-275. El problema y las variantes se discuten también ampliamente en el libro comprensión probabilidad por Henk Tijms