Demostración de que las secuencias reales de Cauchy convergen utilizando únicamente las definiciones

Question

Lo que me han dado es que todas las secuencias de Cauchy están acotadas (demostrado por la definición de secuencias de Cauchy), definición de secuencias de Cauchy, definición de secuencias convergentes.

Nótese que todas las secuencias de Cauchy están en el conjunto real. Además, todavía no conozco los espacios y todo eso, así que por favor no utilices esas terminologías y todo eso. También, por favor, no utilice subsecuencias y todo, si usted quiere, por favor, especifique sus significados y definiciones.

¿Puedo demostrar que las secuencias de Cauchy convergen?

Mi intento (No fue del todo exitoso):

Dado que, para cada $\epsilon>0$ existe un número natural $N$ , de tal manera que $$|a_m-a_n|<\epsilon \space\space\forall\space \space n,m\geq N$$

Así que $|a_n-L|\leq|a_n-a_m|+|a_n-L|\leq\epsilon+|a_m-L|$ donde L es un número real cualquiera.

Creo que se puede hacer después, pero no puedo sacar nada adelante.

Answer 1

La razón por la que las secuencias de Cauchy convergen tiene menos que ver con las definiciones elementales del límite, que con la propiedad topológica de completitud, cuya propia definición es precisamente ésta: toda secuencia de Cauchy converge. Equipado sólo con la información de que una determinada secuencia es Cauchy, no se puede probar que converge sin referencia a la completitud del espacio subyacente que lo contiene, porque si se pudiera, se podría copiar el argumento a un espacio métrico no completo, donde algunas secuencias de Cauchy no convergen.

El hecho de que toda secuencia acotada tenga una subsecuencia convergente también utiliza la completitud, indirectamente.

Como muestra tu "argumento", la principal dificultad radica en producir el candidato al límite. Sencillamente, no forma parte de la información que lleva el mero hecho de ser una secuencia de Cauchy. Esto se debe a que el único candidato para el límite puede simplemente no existir en el espacio subyacente, como en el caso de los números racionales con la métrica habitual. Esta es la esencia de la definición de completitud: rellenar los "agujeros" creados por esos límites "inexistentes" de las secuencias de Cauchy. De hecho, así es como se construye la completitud de un espacio métrico.

La prueba en wikiproof a la que se hace referencia en los comentarios no es correcta.

Answer 2

En la construcción de los reales a partir de los racionales, existe un teorema llamado principio general de convergencia que afirma que en los reales que todas las secuencias de Cauchy convergen.

(Principio general de convergencia) Todas las secuencias de Cauchy convergen.

Esto puede deducirse de sus otras propiedades, como la propiedad L.U.B (Least Upper Bound Property) o la propiedad Bounded Monotonic Sequence.

(Propiedad del límite superior mínimo) Si todo susbset no vacío con un límite superior tiene un límite superior mínimo .

Y

(Propiedad de la secuencia monótona) Toda secuencia monótonamente creciente/decreciente con un límite superior/inferior converge.

De hecho, se puede demostrar que los tres siguientes son equivalentes.

1. (Principio General de Convergencia) más el Principio de Arquímedes (que establece que los naturales son ilimitados)

2. (Propiedad del límite superior mínimo)

3. (Propiedad de la secuencia monótona)

Normalmente, se empieza con la propiedad del límite superior mínimo o la propiedad de la secuencia monótona y se deducen las demás equivalencias.

Answer 3

Toda secuencia acotada de números reales tiene números límite. Es decir, números a los que los términos de la sucesión pueden acercarse arbitrariamente. Este conjunto de números límite tiene un mínimo y un máximo. La sucesión tiene entonces un límite si estos 2 coinciden.

Answer 4

Depende de cuál sea la definición principal de los números reales: todas las definiciones son equivalentes, pero las pruebas como ésta forman parte de la demostración de que esto es cierto. Supongamos que sabes que todo conjunto no vacío de reales que está acotado por arriba/por abajo tiene un límite mínimo superior/máximo inferior.

Dejemos que $U$ sea el conjunto de números reales que son mayores que un número infinito de elementos de la secuencia, y $D$ sea el conjunto de números reales que son menores que un número infinito de elementos de la sucesión. Demuestre que $U$ es no vacío y está acotado por debajo, por lo que tiene un límite inferior mayor $L_u$ . Del mismo modo, $D$ tiene un límite superior mínimo $L_d$ . Ahora demuestre que $L_u=L_d=L$ el límite que busca.