Ejercicio de Justo/Querido (forzamiento de amebas) (1/2)

Question

He resuelto el siguiente ejercicio (18.3):

¿Puede decirme si lo he entendido bien? Gracias:

18.3.(a) La inclusión " $\supseteq$ "se desprende inmediatamente de la definición. Para " $\subseteq$ " dejar $U \in \mathbb A (\varepsilon)$ . Entonces $U$ está abierto y $\mu(U) < \varepsilon$ . Desde $\mu(U \setminus F) = \mu (U) - \mu (\bigcup F)$ podemos reescribir la segunda condición en $\mathbb A(\varepsilon)_F$ como $\mu (U) < \frac{\varepsilon + \delta_F}{2}$ . Distinguimos tres casos:

Si $\mu(U) < \varepsilon / 2$ Entonces $U \in \mathbb A (\varepsilon)_\varnothing$ .

Si $\mu(U) = \varepsilon / 2$ : Si $B_n$ son conjuntos abiertos básicos con $\bigcup_n B_n = U$ entonces escoge cualquier $B_n$ con $\mu(B_n) > 0$ y que $F = \{B_n\}$ . Entonces $U \in \mathbb A(\varepsilon)_F$ .

Si $\mu(U) > \varepsilon / 2$ : Nuevamente asumo $B_n$ son conjuntos abiertos básicos con $U = \bigcup B_n$ . Entonces $\mu (B_n) \to 0$ ya que la secuencia es absolutamente convergente. Fijar $n_0$ tal que $\sum_{n \le n_0} \mu (B_n) \ge \frac{\mu (U) + \varepsilon / 2}{2} = K \ge \varepsilon / 2$ . Entonces $\mu (U) < \varepsilon = \varepsilon / 2 + \varepsilon / 2 \le \varepsilon / 2 + K$ . Dejemos que $n_1$ sea tal que $\sum_{n \le n_0} \mu (B_n) \ge K / 2$ . Entonces $U \in \mathbb A (\varepsilon)_{B_0, B_1, \dots, B_{n_1}}$ .

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18.3. (b): Sea $U,V \in \mathbb A(\varepsilon)_F$ . Entonces $\mu ( U \cup V) \le \mu (U \setminus \bigcup F) + \mu (\bigcup F) + \mu ( V \setminus \bigcup F) < \varepsilon$ .

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Para (a) realmente no hay que distinguir entre los casos (y su tercer caso parece innecesariamente complicado). En general, no encuentro ningún problemas con la prueba. Aquí está mi solución:

Dada cualquier cosa no vacía $U \in \mathbb{A} (\varepsilon)$ ya que $U$ es abierto hay una secuencia $\langle U_i \rangle_{i \in \omega}$ en $\mathcal{B}$ tal que $U = \bigcup_{i \in \omega} U_i$ . Para cada $n \in \omega$ dejar $\delta_n = \mu_1 ( \bigcup_{i < n} U_i )$ . Desde $\langle \delta_n \rangle_{n \in \omega}$ es no decreciente con límite $\mu_1 ( U ) < \varepsilon$ Hay un $n$ tal que $$\mu_1 (U) - \delta_n < \varepsilon - \mu_1 ( U ),$$ pero, como has señalado básicamente, $\mu_1 (U) = \delta_n + \mu_1 ( U \setminus {\textstyle \bigcup_{i \leq n}} U_i )$ Así que reordenando tenemos $$ \mu_1 ( U \setminus {\textstyle \bigcup_{i < n}} U_i ) = \mu_1 ( U ) - \delta_n < \varepsilon - \mu_1 (U) = \varepsilon - \delta_n - \mu_1 ( U \setminus {\textstyle \bigcup_{i < n}} U_i ). $$ Así, $F = \{ U_i : i < n \}$ es como se requiere.

Para (b), su solución parece perfecta (excepto para ser pedante hay que tener en cuenta que $U \cap V$ está abierto).