Sólo por curiosidad, me gustaría conocer más propiedades de la topología de caja. He encontrado Es $\mathbb{R}^\omega$ un espacio completamente normal, en la topología de caja? bastante interesante, pero por desgracia, no ha atraído demasiado la atención. También lo he buscado en MathOverflow, el comentario de Ramiro de la Vega en ¿Sigue siendo un problema abierto si $^$ es normal en la topología de la caja? afirmado que se sabe que la respuesta es negativa. Sin embargo, no puedo obtener más información en Internet. ¿Podría alguien proporcionar una refutación, o al menos ofrecer algunos enlaces útiles?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No lo es. Erik van Douwen demostró ("The box product of countably many metrizable spaces need not be normal", Fund. Math., enlace ) que si $X_0$ son los irracionales (como subespacio de los reales) y para $n \ge 1$ , $X_n = \omega+1$ (un espacio compacto: una secuencia convergente en los reales es homeomorfa a él) entonces $\Box_{n \in \omega} X_n$ no es normal.
Este espacio puede verse como un subespacio de $\mathbb{R}^\omega$ en la topología de caja, por lo que este último espacio no es hereditariamente normal (por lo que no es completamente normal). El propio Erik demostró en el artículo (como "subproducto") que un producto de caja de espacios metrisables no puede ser hereditariamente normal si infinitamente muchos de ellos son no discretos.
Una prueba del primer resultado también se puede encontrar en "Lectures on Set theoretic topology" de Mary Ellen Rudin (un libro muy bonito que debería leer cualquier persona interesada en la investigación en topología general, IMHO), en el capítulo sobre productos de caja; aquí es donde lo encontré.
