Si $f(x) = a_k(n)n^k + \dots + a_1(n)n + a_0(n)$ es un cuasi-polinomio (es decir, con $a_0, \dots, a_k$ siendo funciones periódicas) de $\mathbb N$ a $\mathbb N$ ¿se deduce que todas las funciones de coeficiente $a_i$ de $f$ ¿sólo tomar valores racionales?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Sí. Deja que $s$ sea un período común de las funciones de coeficiente $a_i(n)$ . Dejemos que $n$ se restringe a una clase de residuo $n\equiv r\pmod{s}$ . Entonces cada $a_i(n)$ es constante $a_i(r)$ Así que $f(n)$ es un polinomio (que depende de $r$ ). Tomando cualquier $k+1$ números diferentes $n\in\mathbb{N}$ Satisfaciendo a $n\equiv r\pmod{s}$ y con ello los valores correspondientes $f(n)$ son enteros, el álgebra lineal simple da que los coeficientes $a_i(r)$ son racionales (cf. interpolación polinómica ). Esto es válido para cada $r\in\mathbb{N}$ Así que hemos terminado.
0 votos
Hay una reducción algo inmediata a polinomios.
2 votos
Desde luego, esta pregunta no es de nivel de investigación, pero me apetecía responderla (véase más abajo). Habría sido más apropiado formularla en math.stackexchange.com