Una pregunta relacionada con el periodo de un $2 \times 2$ matriz

Question

Dejemos que $b,c \in \mathbb{R}^2$ y $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ . Quiero encontrar si existe un triplete $(c,A,b)$ tal que: \begin{align*} c^Tb=1&, c^T A^3 b=1, &\ldots \\ c^TAb=0&, c^T A^4 b=0,& \ldots\\ c^T A^2 b=0&, c^T A^5 b=0, & \ldots \\ \end{align*} En otras palabras, $c^TA^{n}b=1$ siempre que $n(\mod 3)=0$ y $0$ de lo contrario. Creo firmemente que no existe tal triplete, pero no puedo aportar una prueba. La razón por la que me siento así es porque creo que de alguna manera $A$ deben estar relacionadas con las matrices de permutación y a $2 \times 2$ La matriz de permutación sólo puede tener periodo $2$ .

¿Puede alguien sugerirme una forma de abordar este problema? En aras de la simplicidad, he asumido que ambos $c=b=[1 \ 0]^T$ . Entonces la pregunta es equivalente a preguntar si existe una matriz $A$ tal que $(A^n)_{11}=1$ cuando $n(\mod{3})=0$ . Pero esto no parece ayudar a resolver el problema.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

La respuesta es no: supongamos que $c^TAb = c^TA^2b = 0$ . Entonces $Ab$ es perpendicular a $c$ y también lo es $A^2b$ . En dos dimensiones, esto significa que $A^2b$ es un múltiplo de $Ab$ es decir, que $A(Ab) = \lambda Ab$ .

De ello se desprende que para $k \geq 2$ tenemos $A^kb = A^{k-1}(Ab) = \lambda^{k-1}b$ lo que implica que $c^TA^kb = 0$ para $k \geq 2$ .

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En cuanto a la generalización: Supongamos que $A$ es $n \times n$ y $0 = c^TAb = c^TA^2b = \cdots = c^TA^{n}b$ . Dejemos que $S$ denotan la extensión de $\{Ab,A^2b,\dots,A^{n}b\} \subset c^\perp$ . Por el teorema de Cayley-Hamitlon, tenemos $$ A^{n+1}b = A^{n}Ab = (d_0 I + d_1A + \cdots + d_{n-1}A^{n-1})Ab \in S $$ $A^{n+1}b \in S \subset \{c\}^\perp$ Así que $c^TA^{n+1}b = 0$ .

Answer 2

Si $$Ab, A^2b \in C=\{ b \in \mathbb R^2 \mid c^Tb = 0 \}$$ desde $C$ es un subespacio vectorial unidimensional de $\mathbb R$ , vector $A^2b = \lambda Ab$ . Pero entonces, $$A^3b = A(A^2b)=\lambda A^2b \in C$$ lo que significa que $c^t A^3b=0$ .