Al resolver el problema homogéneo en un dominio finito con condiciones de contorno dependientes del tiempo se quiere obtener la temperatura de equilibrio. Así que si tenemos
$$\begin{cases} u_{t} = k u_{xx} & 0 \leq x \leq L , t>0 \\ u(x,0) = f(x) , & 0 \leq x \leq L \\ u(0,t) = A(t) , u(L,t) = B(t) & t > 0 \end{cases}$$
En este caso necesitamos una solución candidata para la temperatura de equilibrio, así que creamos una función llamada temperatura de referencia , $r(x,t)$ y queremos que la función satisfaga.
$$ r(0,t) = A(t) \\ r(L,t) = B(t) $$
podemos crear uno así
$$ r(x,t) = A(t) + \frac{x}{L}\big[B(t) - A(t) \big]$$
Ahora, en cambio, tenemos
$$ v(x,t) = u(x,t) - r(x,t) $$
y esta solución $v(x,t)$ resolverá el problema homogéneo.
Ok, ahora que se ha establecido vamos a dejar que
$$ r(x,t) = A(t) + \frac{x}{L}\big[B(t) - A(t) \big]$$
y ahora sustituimos $A(t) = \frac{1}{t+a^{-1}} + a$ y $B(t) = \frac{-1}{t+a^{-1}} + a $
$$ r(x,t) = \frac{1}{t+a^{-1}} + a + \frac{x}{L} \big [\frac{-2}{t+a^{-1}} \big]$$
Ahora, en cambio, tenemos este problema homogéneo que deberías poder resolver
$$\begin{cases} v_{t} = k v_{xx} & 0 \leq x \leq L , t>0 \\ v(x,0) = f(x) - r(x) , & 0 \leq x \leq L \\ v(0,t) = 0 , v(L,t) = 0 & t > 0 \end{cases}$$
La solución a esto es
$$ v(x,t) = \sum_{i=1}^{\infty} a_{n} \sin(\frac{n \pi x}{L}) e^{-k t(\frac{n \pi}{L})^{2} }$$
se resuelven los coeficientes $a_{n}$ y obtenemos
$$ a_{n} = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} \big[ f(x) - r(x) \big] \sin(\frac{n \pi x}{L}) dx $$
donde $f(x)$ es su función
$$ f(x) = \begin{cases} u_{1} & x < 1 \\ 0 & x \geq 1 \end{cases}$$
que parece el complemento de una función de Heaviside multiplicada por la constante $u_1$ . Pruebe eso y vea lo que sucede.
Esto sobre la función de temperatura de referencia $r(x,t)$ . Necesitamos una función tal que obedezca las condiciones de contorno.
Si $u(x,t) = v(x,t) + r(x,t)$ Ya hemos dicho que $v(x,t)$ es la solución homogénea. Así que $u(0,t) = v(0,t) + r(0,t)$ y $u(L,t) = v(L,t) + r(L,t)$ . Pero $v(0,t) = 0$ y $v(L,t) = 0$ .
$ x = 0$ obtenemos
$$ r(0,t) = A(t) + \frac{0}{L}[B(t) - A(t)] = A(t)$$
y en $x=L$ tenemos
$$ r(L,t) = A(t) + \frac{L}{L}[B(t) -A(t)] = B(t) + A(t) - A(t) = B(t) $$
que es lo que queríamos.
