La pregunta es la siguiente,
Que $p$ ser un número primo impar. Las entradas de una $2\times2$ matriz $A\in M_2(\mathbb Z_p)$ son seleccionadas al azar.
(a) encontrar la posibilidad de que $f_A(x)$ parte
(b) encontrar la posibilidad de que $A$ es diagonalizable.
Así que empecé por cálculo de probabilidad con un % muy pequeño $p$. Pero esto no me dio ninguna información útil. Me gustaría buscar alguna sugerencia para mí empezar con la pregunta. Gracias por cualquier ayuda.
(Estoy asumiendo $\Bbb Z_p$ significa que los enteros modulo $p$ más que el $p$-ádico enteros)
Primero vamos a hacer algo simple recuento.
Ahora vamos a contar el número de diagonalizable matrices. Una matriz de $A$ es diagonalizable si existe una $B\in GL_{2\times 2}(\Bbb Z_p)$ tal que $BAB^{-1}$ es diagonal. Sería un error decir que el número de matrices es diagonalizable $(p-1)^2\cdot p(p+1)(p-1)^2$ porque podíamos tener dos diferentes invertible matrices $G$ $H$ tal que $GAG^{-1}=HAH^{-1}$. Sin embargo, si tenemos un $G$$H$, con tal de satisfacer no trivial de la relación. Sea necesaria $A(G^{-1}H)=(G^{-1}H)A$. Que es $A$ viajes con $G^{-1}H$. Por lo tanto $G^{-1}H$ es en el centralizador de $A$. Ahora $G^{-1}H$ es en el centralizador de $A$ si y sólo si $G$ $H$ se encuentran en la misma coset de la centralizador de $A$. Y el número de cosets de la centralizador de $A$ $|GL_{2\times 2}(\Bbb Z_p)|/|Z(A)|$ donde $Z(A)$ es el centralizador de $A$.
Otra razón por la que $(p-1)^2\cdot(p+1)(p-1)^2$ que es malo es que no podía ser diagonal de las matrices que son similares. Esto sucede si los autovalores de la diagonal son iguales. Para evitar la doble contabilización, vamos a considerar solamente la diagonal de las matrices cuyos autovalores son débilmente en aumento. Por lo tanto, para encontrar el número de diagonalizable matrices es suficiente para averiguar cómo recuento $|Z(A)|$ para cada matriz $A$, para, a continuación, el número de matrices es diagonalizable $$\sum_{\substack{D\text{ diagonal}\\\text{increasing}}}\frac{(p^2-1)(p^2-p)}{|Z(D)|}$$
Para los elementos del centro (que son diagonales de las matrices con una sola no-cero escalar ocurren) de computación en el centro es fácil - es la de todo el grupo. Así tenemos que el número de diagonalizable matrices es:
$$p-1+\sum_{\substack{D\text{ diagonal}\\\text{not central}\\\text{increasing}}}\frac{(p^2-1)(p^2-p)}{|Z(D)|}$$
Es decir, queremos calcular $|Z(D)|$ para una matriz de la forma $\left[\begin{smallmatrix}\lambda_1 & 0\\ 0 &\lambda 2\end{smallmatrix}\right]$ $\lambda_1<\lambda_2$ (esto es, hablando libremente. No hay ningún orden real en $\Bbb Z_p$).
Ahora abandonamos la teoría y realmente hacer algo sucios 'cálculo'. Por otra matriz $G\in GL_{2\times 2}(\Bbb Z_p)$ viajes con una matriz si y sólo si $G=\left[\begin{smallmatrix}a &0\\0& b\end{smallmatrix}\right]$$a, b\in \Bbb Z_p^*$.
Hay $(p-1)^2$ tales matrices de una sola matriz $D$. Por lo tanto, nuestra fórmula es ahora: $$p-1+\sum_{\substack{D\text{ diagonal}\\\text{not central}\\\text{increasing}}}\frac{(p^2-1)(p^2-p)}{(p-1)^2}=p-1+\sum_{\substack{D\text{ diagonal}\\\text{not central}\\\text{increasing}}}p(p+1)$$
Ahora tenemos que calcular el número de diagonales, no central, (estrictamente) creciente matrices (tomamos el cuidado de la central de matrices). Hay $1+\cdots + (p-2)=(p-2)(p-1)/2$ tales matrices. Y así llegamos a $$p-1+\frac{(p-1)(p-2)}{2}p(p+1)=\frac{p^4}{2}-p^3-\frac{p^2}{2}+2p-1$$
Así que para b) la probabilidad de que una matriz es diagonalizable es
$$1/2-1/p-1/2p^2+2/p^3-1/p^4$$
curiosamente enfoques de probabilidad 1/2 $p\rightarrow\infty$.
Para a) recordar a una matriz del polinomio característico se divide si y sólo si $\Bbb Z_p^2$ tiene una base generalizada de los autovalores de la matriz. Esto es equivalente a una matriz similar a una matriz en forma normal de Jordan. Para un espacio vectorial de dimensión dos, esto es fácil. Puedes rehacer lo que yo hice para la normal de Jordan matrices. Sólo hay que considerar las matrices de la forma $\left[\begin{smallmatrix}\lambda & 1\\0&\lambda\end{smallmatrix}\right]$ además.
O usted puede leer este documento que investiga una forma mucho más general de la cuestión y, de hecho, su problema como un caso sencillo.
El número de matrices similar a una normal de Jordan de la matriz es $$\frac{p^4}{2}+p^3-\frac{p}{2}$$ y la probabilidad de $f_A$ división
$$1/2+1/p-1/2p^3$$
ACTUALIZACIÓN
Como Julian Rosen señaló en los comentarios, hay diagonalizable matrices con $0$ como un valor propio. Mi respuesta sólo se calcula la invertible diagonalizable matrices. Esto le da otro elemento en el 'centro' y $p(p-1)/2$ diagonal, estrictamente creciente, de las matrices.
La actualización de la computación es:
$$p+\frac{p(p-1)}{2}\cdot p(p+1)=\frac{p^4}{2}-\frac{p^2}{2}+p$$
que los rendimientos de la probabilidad
$$\frac{1}{2}-\frac{1}{2p^2}+\frac{1}{p^3}$$
el mismo que Julian Rosen publicado.
El papel que enlaza tomó en cuenta las matrices de $\left[\begin{smallmatrix} 0&0\\0&0\end{smallmatrix}\right]$$\left[\begin{smallmatrix} 0&1\\0&0\end{smallmatrix}\right]$. Así que la computación está siendo la correcta.
Decir $A=(a,b; c,d)\in M_2(\mathbb{F}_p)$. El polinomio característico se divide si y sólo si el discriminante del polinomio característico, $(a+d)^2-4(ad-bc)$, es un cuadrado de $\mathbb{F}_p$. Considerar dos casos:
Caso 1 ($b\neq 0$) No se $(p+1)/2$ plazas $\mathbb{F}_p$, y para la renta fija $a,b,d$, el mapa de $c\mapsto (a+d)^2-4(ad-bc)$ es bijective en $\mathbb{F}_p$, por lo que el discriminante es un cuadrado con una probabilidad de $(p+1)/(2p)$.
Caso 2 ($b=0$) En este caso el discriminante es $(a-d)^2$ (siempre un cuadrado).
Caso 1 ocurre con una probabilidad de $(p-1)/p$ y el Caso 2 con una probabilidad de $1/p$, por lo que la probabilidad de que el polinomio característico se divide $$ \frac{p-1}{p}\frac{p+1}{2}+\frac{1}{p}1=\frac{1}{2}+\frac{1}{p}-\frac{1}{2^2}. $$
Para calcular la probabilidad de diagonalizability: $2\times 2$ matriz tiene un defectuoso autovalor si y sólo si es de la forma $\lambda\cdot I+M$, con $\lambda\in\mathbb{F}_p$, $I$ el $2\times 2$ matriz identidad, y $M$ un valor distinto de cero de la matriz de tener 0 como un autovalor con multiplicidad 2. Vamos a contar el número de $M$. Se verifica que $M$ debe tener la forma $M=(a,b;c,-a)\neq 0$, con $a^2+bc=0$.
Si $a=0$ necesitamos $b=0$ o $c=0$, pero no tanto, así que hay $2(p-1)$ posibilidades.
Fijo $a\neq 0$, tenemos $bc=-a^2$, de modo que cada uno de no-cero $b$ determina los valores de $c$, dando $p-1$ posibilidades. Hay $p-1$ posibilidades de $a$, por lo que hay $(p-1)^2$ matrices de esta forma (con $a\neq 0$). Esto da un total de $2(p-1)+(p-1)^2=p^2-1$ matrices $M$. Hay $p$ posibles valores de $\lambda$, con lo que conseguimos $p(p^2-1)$ matrices con un defectuoso autovalor. Una matriz es diagonalizable si y sólo si su polinomio característico se divide y no hay defectuoso autovalores, por lo que la probabilidad de una matriz es diagonalizable es $$ \frac{1}{2}+\frac{1}{p}-\frac{1}{2p^2}-\frac{p(p^2-1)}{p^4}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2p^2}+\frac{1}{p^3}. $$
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