Forma correcta de ajustar una línea en 3D (posición x vs posición y vs otra cantidad)

Question

He medido la posición de los puntos de luz $(x,y)$ en una base elegida arbitrariamente y lo comparo con alguna otra cantidad medida, por ejemplo el brillo de cada punto $B$ .

Ahora, en teoría todos los puntos deberían estar en una línea $y=ax+b$ . Llamemos a la distancia a lo largo de la línea $d$ . Que $d$ en función de $B$ debe ser una función afín $d = cB + d_0$ .

¿Cómo puedo encontrar la mejor aproximación de $c$ ?

Si $(x,y,B)$ fuera un espacio físico real, lo correcto sería hacer un Regresión de distancia ortogonal de una línea de inmediato. Pero como $B$ es una cantidad diferente, el resultado dependería en gran medida de la elección de $B$ de las unidades, ¿no es así?

La segunda cosa que se me ocurrió fue hacer un ODR para encontrar la línea en $(x,y)$ y luego proyectar todos los puntos en esa línea y hacer Regresión lineal en $(B,d)$ .

Otra posible solución sería hacer dos Regresiones lineales en $(B,x)$ y $(B,y)$ y utilizar el hecho de que $x$ y $y$ son ortogonales para reconstruir la línea en $(x,y,B)$ .

Pero no sé cuál es la mejor, si algunas de ellas son equivalentes, o si alguna de ellas es correcta.

Answer 1

El enfoque más sencillo es el PCA. Aplíquelo a sus datos tridimensionales y, si está en lo cierto, el primer componente principal PC1 debería explicar casi toda la varianza. Los coeficientes de PC1 te darán lo que buscas.

El PCA busca combinaciones lineales $w_1 x+w_2y+w_3B$ que explican la mayor varianza posible en el conjunto de datos. Si todos los puntos están situados en una línea, sólo habrá un valor propio (o componente principal) que capture toda la varianza de los datos. Por lo tanto, obtenga el PC1 y sus coeficientes $w_i$ te dirá la línea.