Energía del estado de reposo del oscilador armónico cuántico

Question

Dejar $u=rR(r)$ la parte radial de la SE se convierte en:

$$-\frac{\hbar^2}{2m}u_{rr}+\frac{1}{2}m\omega^2r^2 u+\frac{\hbar^2}{2m}\frac{l(l+1)}{r^2}u=Eu$$

Estoy interesado en obtener la energía del estado básico (que sé que es $3\hbar \omega/2$ ). Por ello, he establecido $l=0$ para conseguir

$$-\frac{\hbar^2}{2m}u_{rr}+\frac{1}{2}m\omega^2r^2 u=Eu$$

que es idéntico al problema del oscilador armónico 1D. La energía mínima del oscilador 1D es $\hbar \omega/2$ que no es la energía adecuada para el caso 3D. ¿Por qué este método no me da la energía adecuada para el caso 3D? ¿Cómo puedo encontrar la energía del estado base utilizando las ecuaciones esféricas?

Answer 1

Es cierto que se obtiene una ecuación para $u$ que es exactamente igual a la ecuación del oscilador armónico 1D; lo que cambia son las condiciones de contorno. De hecho, al resolver este tipo de ecuaciones, se requiere que la solución radial $R(r)$ va como un cierto poder, que resulta ser $$ R(r) \xrightarrow[r \to 0]{} r^l\, . $$ Entonces necesariamente tenemos $u(r)\xrightarrow[r \to 0]{} r^{l+1}$ que, en particular, para $l=0$ significa $$ u(0)=0\,, \qquad u(r)\xrightarrow[r \to 0]{} r \, \,. $$

De aquí se desprende que esta solución no corresponden al estado básico del oscilador armónico 1D, que al ser una gaussiana no es nula en $r=0$ .

La primera función propia del oscilador armónico 1D que cumple las condiciones de contorno es en realidad la correspondiente a $n=1$ con una energía dada por $$ E=\hbar \omega\left(1+\frac12\right)= \frac32 \hbar \omega \, , $$ que es el resultado esperado.

Answer 2

La diferencia está en las condiciones de contorno: en el problema esférico, el radio $r$ es necesariamente $\ge 0$ y no es posible tener una función de onda para $r<0$ . Esto obliga a que la función propia tenga un nodo en $r=0$ para que la solución no se "filtre" en $r<0$ , al igual que deben tener un nodo en ambos extremos de un pozo infinito ya que las funciones de onda no pueden más allá del pozo.

Como resultado, la función propia más baja permitida por la condición de contorno es la solución más baja con un nodo en $r=0$ y esta es la solución del oscilador armónico con energía $\frac{3}{2}\hbar\omega$ . Obsérvese también que, como resultado, el siguiente $\ell=0$ solución se producirá en $\frac{7}{2}\hbar \omega$ ya que la energía $\frac{5}{2}\hbar \omega$ corresponde a una solución que no satisface la condición de contorno en $r=0$ . Por supuesto que hay soluciones con esta energía $\frac{5}{2}\hbar \omega$ : simplemente no tienen $\ell=0$ .