¿Qué ley de conservación corresponde a este local $U(1)$ simetría de la RCC?

Question

Se sabe que las relaciones de conmutación canónicas no fijan la forma del operador de momento. Esto significa que si las relaciones de conmutación canónicas (RCC) están dadas por

$$[\hat{x}^i,\hat{p}_j]~=~i\hbar~\delta^i_j~ {\bf 1}$$

pueden satisfacerse mediante la siguiente elección de operadores de momento:

$p_x = -ih\frac{}{x}+\frac{f}{x}$

$p_y = -ih\frac{}{y}+\frac{f}{y}$

$p_z = -ih\frac{}{z}+\frac{f}{z}$

donde $f(x,y,z)$ - función arbitraria.

Por otro lado, para cualquier elección de $f(x,y,z)$ los operadores de momento pueden ser transformados a su forma más utilizada $(-ih\frac{}{x})$ (etc para $y$ y $z$ ) mediante la siguiente transformación de la función de onda $\psi$ y operadores $p$ :

$\psi'=e^{-\frac{i}{h}f(x,y,z)}\psi$

$p^{'}_x =e^{-\frac{i}{h}f(x,y,z)}p_x e^{+\frac{i}{h}f(x,y,z)}=-ih\frac{}{x}$

Por lo tanto, obtenemos $U(1)$ transformación gauge utilizando únicamente relaciones de conmutación canónicas para los operadores de momento y posición.

¿Significa esto que $U(1)$ ¿La invariancia gauge corresponde a la conservación del momento y no a la conservación de la carga eléctrica?

Answer 1

1) Si interpretamos la transformación de OP $^1$ como transformación pasiva es decir, un mero cambio de coordenadas/descripción que no altera el sistema, entonces no hay ley de conservación.

2) Así que en lo que sigue, interpretemos la transformación de OP como una transformación activa.

Para que un sistema tenga una simetría, su acción $S$ (o más precisamente, en este contexto mecánico cuántico, su operador hamiltoniano $\hat{H}$ ) debe respetar esta simetría. La ley de conservación correspondiente dependerá de la forma específica del Hamiltoniano $\hat{H}$ . Esto es todo lo que tenemos que decir sobre QM.

3) Finalmente, en un contexto de teoría de campos, podemos interpretar la transformación de OP

$$\tag{1} \frac{\hbar}{i} {\bf \nabla} ~\longrightarrow~ e^{-i\Lambda({\rm r})}\frac{\hbar}{i} {\bf\nabla} e^{i\Lambda({\rm r})} $$

como una transformación gauge pura en una teoría electromagnética con intensidad de campo electromagnético nula.

Cuando se interpreta como una teoría EM, por un lado, la simetría gauge global conduce a la conservación de la carga eléctrica, cf. Primer teorema de Noether . Ver también este Pregunta de Phys.SE.

Por otro lado, no hay ninguna cantidad conservada asociada a la simetría gauge local per se, cf. Segundo Teorema de Noether . (Su identidad de Noether fuera de la cáscara es una trivialidad. Véase también este Pregunta de Phys.SE).

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$^1$ La transformación de OP está relacionada con la elección de los factores de fase en los solapamientos entre los estados propios de posición y momento en QM, cf. este Puesto de Phys.SE.