Problema de la obra personal de Galois

Question

Dejemos que $R =\mathbb Z /p\mathbb Z$ con $p$ primo, y considerar el conjunto $A$ de las permutaciones de $R$ de la forma $$\rho_{a,b}:x \mapsto ax+b ,$$ con $a,b \in R$ y $a \ne 0$ . Llame a $T$ el subconjunto de $A$ de transformaciones con $a=1$ .

Debo demostrar que todo subgrupo transitivo soluble $L$ de $S_p$ es equivalente a un subgrupo de $A$ (en el sentido de que $L$ es conjugado a un subgrupo de $A$ en $S_n$ ). El profesor nos dio algunas sugerencias: básicamente que todo subgrupo normal transitivo de $S_p$ es de nuevo un grupo transitivo, y que si $G$ es un subgrupo de $S_p$ entonces $T\unlhd G$ implica $G\le A$ . Así que parece que debería empezar así: $G$ resoluble significa que existen $\{G_i \}_{1\le i\le n}$ tal que $1\unlhd G_1\unlhd\dots \unlhd G_n \unlhd G$ y cada $G_i$ es la máxima normal en $G_{i+1}$ ya que cada $G_i$ debe ser transitivo, $G_1$ debe ser el conjunto de los $p$ -ciclos, es decir $T$ . Esto significa que $G_2$ es un subgrupo de $A$ y a partir de aquí no sé cómo proceder. Sinceramente no tengo mucha práctica con las propiedades de los subgrupos normales y conjugados, así que me gustaría tener una pista de la que partir. Gracias de antemano

Answer 1

Necesitas lo siguiente:

Reclamación: Si $H$ es normal en $G \subset S_p$ y $G$ es transitivo, entonces $H$ es transitivo o $H$ es trivial.

(Has dicho algo diferente "todo subgrupo normal transitivo de $S_p$ es de nuevo un grupo transitivo", lo cual no tiene mucho sentido, pero has utilizado la afirmación anterior, que es cierta, así que vamos a demostrarla)

Prueba: Supongamos que $X$ es una órbita bajo la acción de $H$ . Entonces $gX$ es también una órbita bajo la acción de $H$ porque $hgX = g(g^{-1}hg)X = gh'X = gX$ . Desde $G$ es transitiva, se deduce que todas las órbitas de $H$ tienen el mismo tamaño. Dado que estos actúan sobre $p$ puntos, las órbitas de $H$ debe tener tamaño $1$ o el tamaño $p$ . Si las órbitas tienen tamaño $1$ entonces $H$ es trivial, de lo contrario $H$ es transitivo.

Supongamos que $G$ es un subgrupo transitivo de $S_p$ que también es solucionable. Exactamente como usted dice, podemos filtrar $G$ por subgrupos $G_i$ cada uno de los cuales es normal en el siguiente grupo, y cuyos cocientes sucesivos son simples y por tanto (por solvencia) cíclicos de orden primo. Por la afirmación anterior, $G_1$ es transitiva, pero también tiene orden primo, por lo que debe tener orden $p$ . Todos los pedidos $p$ elementos en $S_p$ son conjugados con $(1,2,\ldots,p)$ , por lo que después de conjugar $G$ si es necesario, podemos suponer que $G_1$ es generado por este elemento.

Reclamación: $G_1$ es normal en $G_n$ para todos $n$ y, en particular, es el único $p$ -Silow subgrupo de $G_n$ . (Como máximo una potencia de $p$ divide $|G_n|$ porque sólo una potencia de $p$ divide $|S_p|$ .)

Una vez que tienes esto, obtienes eso $G_1$ es normal en $G$ y así $G$ está contenida en el normalizador del $p$ -Sylow. Pero el normalizador de $(1,2,\ldots,p)$ en $S_p$ es sólo $A$ (¿puedes demostrarlo? Se deduce de Sylow III) y entonces (un conjugado de) $G$ es un subgrupo de $A$ , según se desee.

Vale, así que has pedido una pista, más que una solución. La pista es demostrarlo por inducción. Puedes suponer que $G_1$ es el único $p$ -Sylow de $G_{n-1}$ y que $G_1$ es normal en $G_{n-1}$ y que $G_n/G_{n-1}$ es generado por un elemento $\sigma \in G_n$ porque el cociente es cíclico. Así que en realidad sólo hay que demostrar que $\sigma G_1 \sigma^{-1} = G_1$ . ¿Ves por qué debe ser así?