¿Cuándo esta función de valor vectorial apunta hacia el origen?

Question

"Un avión de combate, que puede disparar un rayo láser en línea recta, recorre la trayectoria $\mathbf{r}(t) = \langle 5 - t, 21 - t^2, 3 -\frac{1}{27}t^3\rangle$ . Demuestre que hay precisamente un tiempo $t$ a la que el piloto puede alcanzar un objetivo situado en el origen". He intentado resolver $\mathscr l(s) = -\mathbf r(t)$ para t y s, donde $\mathscr l(s)$ es el vector tangente de $\mathbf r$ cuando $\mathbf r$ apunta hacia el origen, pero tengo dos respuestas para $t%$ uno de los cuales era la respuesta en la parte posterior del libro ( $t = 3$ ), y ni siquiera sé qué diablos son los números que obtuve para $s$ se supone que son... ¿Qué hago?

EDIT: He copiado mal la pregunta, pero ahora es correcta.

Answer 1

Necesitas $\mathbf{v}(t) = \dot{\mathbf{r}}(t) = \left\langle -1,\, -2t,\, -\frac{1}{9}t^2\right\rangle$ para apuntar a la dirección opuesta de $\mathbf{r}(t)$ (desde el avión de combate hasta el origen). Así que sólo hay que resolver $\dot{\mathbf{r}}(t) = k\mathbf{r}(t)$ para $k<0$ que es un sistema de $3$ ecuaciones con $2$ variables ( $k$ y $t$ ).

Answer 2

Una pista:

Quieres que ${\bf r}(t)\times \dot {\bf r}(t)={\bf 0}$ y que ${\bf r}(t)\cdot \dot {\bf r}(t)<0$ . La primera ecuación dice que $\dot{\bf r}(t)$ está en línea con el vector ${\bf r}(t)$ señalando desde ${\bf 0}$ a ${\bf r}(t)$ o viceversa, y la segunda ecuación dice que la dirección de disparo debe apuntar hacia el origen y no alejarse de él.

Tenga en cuenta que para un viaje en avión "arbitrario" no puede esperar un momento tan feliz.

Answer 3

En el momento $t$ el plano apunta en la dirección determinada por el vector $${\bf r}'(t) = \left\langle -1, -2 t, -\tfrac{1}{9} t^2 \right\rangle.$$ Esto es hacia (o lejos de) el origen si este es paralelo a la posición ${\bf r}(t)$ es decir, si $${\bf r}(t) \times {\bf r}'(t) = 0.$$ Esto da un sistema de tres ecuaciones polinómicas en $t$ .

Para cada solución $t_0$ de este sistema, queda por comprobar si el plano apunta hacia el origen o se aleja de él, es decir, si ${\bf r}(t_0)$ y ${\bf r}'(t_0)$ apuntan (respectivamente) en la dirección opuesta o en la misma. Podemos comprobarlo por inspección, o algebraicamente comprobando si $${\bf r}(t_0) \cdot {\bf r}'(t_0)$$ es negativo. (De hecho, podemos comprobar simplemente si el producto de, por ejemplo, las primeras componentes de los dos vectores es negativo).