Sobre el espacio de polinomios en $T$ (un operador lineal) sin subespacio invariante distinto de cero

Question

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo $F$ y que $T: V\to V$ sea una transformación lineal. Supongamos que $T(W)$ no es un subespacio de $W$ para cada subespacio propio no nulo $W$ de $V$ . Dejemos que $F[T]:=\{ p(T): V\to V | p(x)\in F[x]\}$ .

Tengo tres preguntas:

(1) Cómo demostrar que $\ker p(T)=0$ por cada $0\ne p(T)\in F[T]$ ?

(2) si (1) es cierto, entonces cada $0 \neq p(T)\in F[T]$ es un isomorfismo. Cómo demostrar que la inversa de cada $0 \neq p(T)\in F[T]$ es de nuevo un polinomio en $T$ Es decir, cómo demostrar que $F[T]$ ¿es un campo?

(3) Cómo demostrar que $[F[T] : F]=\dim_F (V)$ Es decir, cómo demostrar que $\dim_F F[T]=\dim_F V$ ?

Answer 1

Para (1), basta con observar que $\ker p(T)$ es un subespacio invariante de $T$ (para cualquier polinomio $p$ ).

Para (2): Sea $m(x)$ sea el polinomio mínimo de $T$ . Utilizando la condición (1), concluimos que $m(x)$ es irreducible (¿cómo?). Consideremos un polinomio arbitrario $p(x)$ . Dado que el gcd de $p$ de $m$ es $1$ existen polinomios $f,g$ tal que $$ f(x) p(x) + g(x)m(x) = 1. $$ Porque $m(T) = 0$ podemos deducir que $f(T)$ es la inversa de $p(T)$ .

Para (3): Obsérvese que $[F[T]:F]$ es el grado de $m$ . Por el teorema de Cayley-Hamilton, esto es como máximo $\dim V$ . Para demostrar que no puede ser menor que $\dim(V)$ , obsérvese que para cualquier $x \in V$ El $T$ -subespacio invariable generado por $x$ es un subespacio no nulo de $V$ cuya dimensión es como máximo $\deg(m)$ .