Evaluar $\lim \limits_{n \to \infty} n \int_{-1}^{0}(x+e^x)^n dx$ .

Question

Evaluar $\lim \limits_{n \to \infty} n $$ \int_{-1}^{0}(x+e^x)^n dx $. The answer should be $ \frac{1}{2} $. I tried the substitution $ x+e^x=u $ and then using the property that $ \lim_{n \a \infty } n \int_{-a}^{1} x^n f(x)dx=f(1)$ pero no sé qué hacer más. Si resuelves esto por favor hazlo para que un bachiller como yo pueda entenderlo, gracias.

Answer 1

No sé si he utilizado las matemáticas del instituto para resolver este problema. Es bastante desafiante. Dejemos que $t=-nx$ y luego \begin{eqnarray} &&n\int_{-1}^{0}(x+e^x)^n dx\\ &=&\int^{n}_{0}\left(-\frac{t}{n}+e^{-\frac{t}{n}}\right)^n dx\\ &=&\int^{\frac{n}2}_{0}\left(-\frac{t}{n}+e^{-\frac{t}{n}}\right)^n dx+\int_{\frac{n}2}^{n}\left(-\frac{t}{n}+e^{-\frac{t}{n}}\right)^n dx. \tag{1} \end{eqnarray} Por el teorema del valor medio de las integrales, $$ \int_{\frac{n}2}^{n}\left(-\frac{t}{n}+e^{-\frac{t}{n}}\right)^n dx=\frac{n}{2}\left(-\frac{\xi}{n}+e^{-\frac{\xi}{n}}\right)^n,\frac{n}2\le\xi\le n. $$ Observando que, para $\frac12\le x\le1$ , $$ |-x+e^{-x}|\le1-e^{-1}<1 $$ tenemos $$ \lim_{n\to\infty}\int_{\frac{n}2}^{n}\left(-\frac{t}{n}+e^{-\frac{t}{n}}\right)^n dx=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2}\left(-\frac{\xi}{n}+e^{-\frac{\xi}{n}}\right)^n=0. $$ Ahora trabajamos en la primera parte de (1) y queremos mostrar $$ \lim_{n\to\infty}\int^{\frac{n}2}_{0}\left(-\frac{t}{n}+e^{-\frac{t}{n}}\right)^n dx=\lim_{n\to\infty}\int^{\frac{n}2}_{0}e^{-2t}dt $$ o $$ \lim_{n\to\infty}\int^{\frac{n}2}_{0}e^{-2t}\left[1-e^{2t}\left(-\frac{t}{n}+e^{-\frac{t}{n}}\right)^n\right] dx=0 $$ Desde $$ e^{-x}\ge 1-x, e^x\ge 1+x, -x+e^{-x}\le e^{-2x}, x+e^{x}\le e^{2x}, x\ge 0$$ tenemos $$ e^{-2t}\ge\left(-\frac{t}{n}+e^{-\frac{t}{n}}\right)^n\ge\left(1-\frac{2t}{n}\right)^n , e^{2t}\ge \left(\frac{t}{n}+e^{\frac{t}{n}}\right)^n\ge\left(1+\frac{2t}{n}\right)^n$$ y por lo tanto \begin{eqnarray} 0&\le& e^{2t}\left[e^{-2t}-\left(-\frac{t}{n}+e^{-\frac{t}{n}}\right)^n\right]\\ &\le&1-e^{2t}\left(-\frac{t}{n}+e^{-\frac{t}{n}}\right)^n\\ &\le&1-\left(1+\frac{2t}{n}\right)^n\left(1-\frac{2t}{n}\right)^n\\ &=&1-\left(1-\frac{4t^2}{n^2}\right)^n. \end{eqnarray} Por la desigualdad de Bernoulli $$ (1-x)^n\ge 1-nx, x\in(0,1)$$ tenemos $$ 0\le 1-e^{2t}\left(-\frac{t}{n}+e^{-\frac{t}{n}}\right)^n\le\frac{4t^2}{n}. $$ Así que $$ 0\le\int^{\frac{n}2}_{0}e^{-2t}\left[1-e^{2t}\left(-\frac{t}{n}+e^{-\frac{t}{n}}\right)^n\right] dx\le\frac4n\int^{\frac{n}2}_{0}t^2e^{-2t}dt\to0 $$ como $n\to\infty$ .

Answer 2

Esbozaré una prueba y dejaré que completes los detalles. Dejemos que $f(x)=x+e^x.$ Entonces $f'(x) = 1 + e^x,$ por lo que $f$ es estrictamente creciente, y $f$ mapas $[-1,0]$ a $[-1+1/e, 1].$ En la integral dada, sea $x= f^{-1}(y)$ (esto es lo que estabas intentando). La expresión se convierte en

$$\tag 1 n\int_{-1+1/e}^1 y^n(f^{-1})'(y)\,dy.$$

Ahora recuerda

$$(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y)} = \frac{1}{1+e^{f^{-1}(y)}}.$$

Así, $(1)$ es igual a

$$n\int_{-1+1/e}^1 y^n\frac{1}{1+e^{f^{-1}(y)} }\,dy.$$

En $[-1+1/e,0]$ el integrando en valor absoluto está acotado por encima de $|y|^n \le |-1+1/e|^n.$ Desde $n|-1+1/e|^n\to 0,$ podemos ignorar esta parte de la integral.

Así que nos quedamos con

$$n\int_0^1 y^n\frac{1}{1+e^{f^{-1}(y)}}\,dy.$$

Ahora estás preparado para utilizar la "propiedad" de la que hablabas.

Answer 3

Su propiedad dice que el límite es $$ \frac{1}{1+e^{X(1)}}, $$ donde $X(u)$ es la solución de $X(u)+e^{X(u)}=u$ . Observe que $e^{X(1)}=1-X(1)$ , por lo que su límite es $$ \frac{1}{2-X(1)}. $$ Basta con demostrar que $X(1)=0$ . Pero esto está claro, ya que $1=X(1)+e^{X(1)}\ge e^{X(1)}\ge 1$ con igualdad si y sólo si $X(1)=0$ .