La suma de series geométricas $e^{k-1}/\pi^{k+1}$

Question

Dejemos que $T_n=\sum _{k=1}^{n}\dfrac{e^{k-1}}{\pi ^{k+1}}$ calcular el $\lim_{n\to\infty}T_n$

Nota $T_n$ es una serie geométrica:

\begin{align*} T_n&=\sum _{k=1}^{n \:}\dfrac{e^{k-1}}{\pi ^{k+1}}\\ &= \pi^{-2}.\sum _{k=1}^{n \:}\dfrac{e^{k-1}}{\pi ^{k-1}}\\ &= \pi^{-2}.\sum _{k=1}^{n \:}\left(\dfrac{e}{\pi }\right)^{k-1}\\ &= \pi^{-2}.\sum _{k=0}^{n-1 \:}\left(\dfrac{e}{\pi }\right)^{k}(\text{change of index})\\ &= \pi^{-2}.\dfrac{1-\left(\dfrac{e}{\pi }\right)^{n}}{1-\left(\dfrac{e}{\pi }\right)}(\text{Geometric series})\\ &= \pi^{-1-n}.\dfrac{\pi^n-e^n }{\pi-e }(\text{Geometric series})\\ \text{then the limit of $T_n$ }\\ \lim_{n\to\infty}T_n&=\lim_{n\to\infty} \pi^{-1-n}.\dfrac{\pi^n-e^n }{\pi-e } ?? \end{align*} Estoy atrapado en el límite.

Answer 1

Sólo tienes que dar el límite un paso antes. Es decir, encontrar

$$\lim_{n\to\infty}\pi^{-2}\frac{1-\left(\dfrac{e}{\pi}\right)^n}{1-\dfrac{e}{\pi}}$$

utilizando el hecho de que si $|x| < 1$ entonces $\displaystyle\lim_{n \to \infty}x^n = 0$ .

Answer 2

En la línea en la que cita el "cambio de índice" tiene $T_{n}$ en la forma que necesitas para aplicar la fórmula de convergencia de las series geométricas, $\sum_0^\infty ar^{n}= \frac{a}{1-r}$ . Encontró $a=\pi^{-2}$ y $r=\frac{e}{\pi}$ ya reescribiendo correctamente la serie infinita, por lo que sólo es cuestión de introducir los números correspondientes.

Answer 3

Para generalizar el problema, consideremos $$T_n=\sum _{k=c}^{n \:}\dfrac{x^{k+a}}{y^{k+b}}=\dfrac{x^{a}}{y^{b}}\sum _{k=c}^{n \:}z^k$$ donde $z=\frac{x}{y}$ . $$T_n=\dfrac{x^{a}}{y^{b}}\frac{z^{n+1}-z^c}{z-1}$$ Para tener un valor límite definido cuando $n$ va al infinito, como para cualquier serie geométrica, se requiere que $z<1$ . Así que, bajo esta condición, $$\lim_{n\to\infty}T_n=\dfrac{x^{a}}{y^{b}}\frac{z^c}{1-z}$$