Clasificación del grupo de cociente

Question

Necesito ayuda para clasificar los siguientes grupos cocientes según el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados:

$$ \begin{array} &(\mathbb Z_4 \times \mathbb Z_{16})/\langle(1, 4)\rangle,\\ (\mathbb Z_4 \times\mathbb Z_{16})/\langle(2, 4)\rangle,\\ (\mathbb Z \times \mathbb Z \times \mathbb Z)/\langle(1, 2, 4)\rangle. \end{array} $$

Lo que he probado:

(i) $F : \mathbb Z_4 \times \mathbb Z_{16}\longrightarrow \mathbb Z_{16}$ definido por $F(a, b) = 4a - b \mod 16$ es un homomorfismo sobreyectivo bien definido con $\ker F = \langle(1, 4)\rangle.$

$F$ está bien definida: Escribir $a + 4j,$ y $b + 16k$ para cualquier número entero $j, k,$ tenemos $$4(a + 4j) - (b + 16k) = (4a - b) + 16(j-k) = 4a - b \mod 16$$ para cualquier $j, k.$

$F$ es un homomorfismo: Para cualquier $(a, b), (c, d)$ en $\mathbb Z_4 \times \mathbb Z_{16},$ tenemos

$$F(a, b) + F(c, d) = (4a - b) + (4c - d) = 4(a + c) - (b + d) = F(a+c, b+d).$$

$F$ es sobreyectiva: Para cualquier $c$ en $\mathbb Z_{16},$ tenemos $$F(0, -c) = 4 \cdot 0 - (-c) = c,$$ según sea necesario.

Answer 1

$\DeclareMathOperator{\bZ}{\mathbf Z}$ Para añadir a mis comentarios anteriores: No soy lo suficientemente inteligente como para que siempre se me ocurra un buen mapa. Sin embargo, puede utilizar Forma normal de Smith que aparece a menudo en este sitio, para hacer las otras dos partes sin pensar [Pero deberías intentar entender las matemáticas que hay detrás; no intentaré explicarlo aquí]. Por ejemplo, en la segunda parte tenemos un homomorfismo suryectivo \[ \bZ \times \bZ \to \bZ/4\bZ \times \bZ/16\bZ. \] El núcleo $H$ es generado por $(4, 0)$ y $(0, 16)$ . Y la preimagen de $\langle(2, 4)\rangle$ es generado por $(2, 4)$ y $H$ . Por lo tanto, ponga los tres generadores como las columnas de una matriz de relaciones \[ \begin{pmatrix} 4 & 0 & 2 \\ 0 & 16 & 4 \end{pmatrix} \] que, asumiendo que lo he hecho correctamente, podemos colocar en la siguiente forma utilizando operaciones de fila y columna: \[ \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \end{pmatrix} , \] de lo que se deduce que su cociente es $\bZ/2\bZ \times \bZ/8\bZ$ .