Un problema estocástico de caracoles caníbales

Question

He aquí una pregunta un tanto estúpida, en resumen sobre la adición de estocasticidad a una EDO lineal (ver el final).

Antecedentes

Estaba pensando en un problema tonto de 4 caracoles caníbales en una caja:

Cada caracol empieza en una esquina y quiere comerse al siguiente alrededor del círculo (digamos que en sentido contrario a las agujas del reloj); y así se mueve a velocidad constante hacia este otro caracol. ¿Cuál es la forma de las curvas que trazan?

El ODE

Pensando en esto se me ocurrió el siguiente modelo.

Es una ODE para $ z(t) \in \mathbb C ^{\,4,1}$ donde cada coordenada de $z$ representa la posición de un caracol en el plano. Más precisamente:

$$\dot z (t) = B z(t),\quad \text{where}\quad B := \begin{pmatrix} -1&1&0&0\\ 0&-1&1&0\\ 0&0&-1&1\\ 1&0&0&-1 \end{pmatrix},\quad\text{ and}\quad z(0) = \begin{pmatrix}1\\-i\\-1\\i\end{pmatrix}.$$

Y, naturalmente, una EDO tan bonita da directamente la siguiente solución:

$$ z(t) = e^{tB}z(0) = \begin{pmatrix} e^{(-1-i) t} \\ -i e^{(-1-i) t}\\ -e^{(-1-i) t}\\ i e^{(-1-i) t} \end{pmatrix} $$

y corresponde a la siguiente pequeña espiral.

La pregunta

¿Qué se obtiene cuando se añade estocasticidad al modelo, es decir, ruido blanco a la EDO? ¿Vemos la misma espiral hacia el interior de la curva más ruido, o sucede algo más extraño?

Además, sea cual sea el comportamiento, ¿hay alguna manera de añadir ruido que tenga el efecto contrario?

Answer 1

Esta es una respuesta puramente numérica. He utilizado Matlab para resolver la EDO determinista y también para simular realizaciones de la EDO estocástica. Parece que no ocurre nada inesperado, y en promedio las trayectorias estocásticas siguen la trayectoria determinista.

A continuación se muestran los gráficos de 200 realizaciones de la EDO estocástica con distintos niveles de ruido, y las trayectorias medias, comparadas con las soluciones deterministas.

Empezando por el pequeño ruido, $\sigma=0.001$ los 200 caminos

y la trayectoria media con la solución determinista de la EDO como líneas discontinuas

Si se aumenta el ruido a 0,1 se obtienen los siguientes resultados:

Y al aumentarlo a 1 se obtiene

y puedes ver que la media sigue siendo similar a la trayectoria determinista, con más realizaciones creo que es justo suponer que se acercaría (editar: lo hace).

Este es el código que he utilizado para generar estas imágenes

T = 10;

% deterministic solution
[~,z] = ode45(@(t,z) (diag(-ones(1,4))+diag(ones(1,3),1)+diag(1,-3))*z,[0 T],[1+0i;1i;-1+0i;-1i]);

% Euler's method for stochastic ODEs
N = 200; % number of realisations
h = 0.01; % time step
sigma = 0.1; % standard deviation
s = zeros(4,2); % initialise results array
figure(1),clf,hold on

for j = 1:N
    % Euler scheme
    x = [1 0;0 1;-1 0;0 -1]; % initial conditions
    for k = 1:floor(T/h) % updates
        x(:,:,k+1) = x(:,:,k)+(circshift(x(:,:,k),-1)-x(:,:,k))*h...
            +sigma*randn(size(x(:,:,k)))*sqrt(h);
    end

    plot(squeeze(x(:,1,:)).',squeeze(x(:,2,:)).') % plot path j

    s = s+x; % store results
end
hold off

figure(2)
s = s/N; % averaged path
plot(squeeze(s(:,1,:)).',squeeze(s(:,2,:)).')
hold on
plot(z,'--') % deterministic path
hold off