Isomorfismo universal de álgebra simétrica de anillo para anillos de Lie

Question

Dejemos que $g$ sea un anillo de Lie (álgebra de Lie sobre $\mathbb Z$ ), y que $U(g)$ y $S(g)$ denotan el álgebra universal envolvente y simétrica de $g$ . El teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt (en la forma demostrada por Lazard, véase "Sur les algebres enveloppantes universelles de certaines algebres de Lie, M Lazard - Publ. Sci. Univ. Alger. Ser. A, 1954) produce un isomorfismo de anillo entre $S(g)$ y un grado asociado de $U(g)$ .

Puedo demostrar que $S(g)$ y $U(g)$ son isomorfos como $\mathbb Z$ -Esto se deduce esencialmente de la prueba de Lazard. ¿Es esto ya conocido?

Answer 1

Anteriormente, el resultado de Lazard (On universal enveloping algebras of certain Lie algebras. C. R. Acad. Sci. París 234, (1952). 788-791. ) lo hace para los anillos de Lie sobre PID.

Para los anillos de Lie generales, el primer contraejemplo fue construido por Shirshov (On the representation of Lie rings as asociative rings. Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 8, (1953). no. 5(57), 173-175.)

Answer 2

Se sabe si $g$ es libre como $\mathbb{Z}$ -y falla en caso contrario, véase por ejemplo P.M.Cohn, A Remark on the Birkhoff-Witt Theorem J. London Math. Soc. (1963) s1-38(1): 197-203