Dejemos que $K$ ser un campo topológico . Sea $V$ ser un espacio vectorial topológico en $K$ (si te resulta cómodo, puedes suponer que es de dimensión finita).
Pregunta ingenua: ¿Existe una forma canónica de definir una topología en $\text{GL}(V)$ ?
Intento de focalización de la pregunta ingenua: Dejemos que $\mathcal{C}$ sea la subcategoría de $\mathsf{TVect}_K$ con los mismos objetos (topológicos $K$ -vectoriales) pero donde los morfismos son sólo los isomorfismos de $\mathsf{TVect}_K$ . ¿Podemos definir un functor $A:\mathcal{C}\rightarrow\mathsf{TGrp}$ tal que
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$B(A(V))=\text{GL}(V)$ para todos $V\in \mathcal{C}$ , donde $B:\mathsf{TGrp}\rightarrow\mathsf{Grp}$ es el functor de olvido
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Dejemos que $X=K^d$ con la topología estándar (producto). A continuación, $A(X)\cong\!\! \text{GL}_d(K)$ , donde $\text{GL}_d(K)$ se da la topología del subespacio de $K^{d^2}$
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Dejemos que $Y=K^d$ con la topología trivial (indiscreta). Entonces $A(Y)\cong\!\!\text{GL}_d(K)$ , donde $\text{GL}_d(K)$ se le da la topología trivial
En resumen, quiero evitar respuestas "tontas", como $A(V)=\text{GL}(V)$ con la topología trivial para todo $V$ . No estoy seguro de que mis condiciones anteriores descarten suficientemente ese tipo de cosas, pero si ves una respuesta "tonta", te animo a que la publiques para que, o bien pueda afinar mejor mi pregunta, o bien pueda ver por qué no hay una pregunta bien definida que hacer aquí.
Motivación: En mi clase de topología diferencial de hoy, hubo un gran debate sobre lo que la topología en el Grassmanian $\text{Gr}(r,V)$ era (para $V$ un $\mathbb{R}$ -espacio vectorial). El profesor finalmente dio lo que fue, en mi opinión, una respuesta poco estética que dependía de la elección de una base para $V$ (que evito cuando es posible) y, ahora que $V$ y $\mathbb{R}^n$ se identifican a través de la elección de la base, utilizando la estructura del producto interior en $\mathbb{R}^n$ (que también evito cuando es posible) para definir una métrica, y por tanto una topología, en el conjunto de $r$ -subespacios dimensionales. En particular, no vi ninguna razón para que no hubiera una topología en $\text{Gr}(r,V)$ en ausencia de una estructura de producto interno en $V$ por lo que mi motivación aquí es definir una topología canónica en $\text{Gr}(r,V)$ para cualquier espacio vectorial topológico $V$ . Mirando el Página de Wikipedia sobre los grassmanianos parece que la forma natural de hacerlo sería simplemente tener una topología en $\text{GL}(V)$ y luego poner la topología del cociente en $\text{Gr}(r,V)=\text{GL}(V)/H$ donde $H=\text{Stab}(W)$ para algunos $r$ -subespacio dimensional $W\subset V$ . Esto planteó la cuestión de cuál era exactamente la topología en $\text{GL}(V)$ que es lo que estoy preguntando aquí ahora.
