Demostrar que la proyección ortogonal es una distancia mínima

Question

En un ejercicio del libro de texto se dieron un montón de espacios vectoriales junto con subespacios y un vector $v$ . A continuación, la tarea consistía en calcular la proyección ortogonal $\pi(v)$ a ese subespacio $U$ con sus respectivos productos escalares. Bastante simple,

ahora la tarea después de lo que pidió: Calcular la distancia $$d(v,U):=min_{u\in U} ||v-u||$$ para todos los espacios dados en la tarea anterior. Pues bien, ¡es la proyección ortogonal que hemos calculado antes! ¿Pero cómo se puede demostrar esto? Especialmente cuando se pasa a espacios más abstractos como el espacio de las funciones continuas, ya no parece tan obvio.

Entonces, ¿cómo podemos probarlo? Tal vez podamos demostrar $||v-\pi(v)||^2=\gamma(v-\pi(v),v-\pi(v))$ es mínimo ( donde $\gamma$ es el producto interior). No sé cómo se puede demostrar que es la distancia mínima. Encontrar un mínimo parece más bien un problema de cálculo.

Las preguntas relacionadas a menudo afirman que esto es así, pero no muestran una prueba, véase por ejemplo : La proyección de v sobre subespacios ortogonales son los que tienen una distancia mínima a v?

Answer 1

Usando el teorema de Pitágoras, se tiene: $$\|v-u\|^2=\|v-\pi(v)\|^2+\|u-\pi(v)\|^2\geqslant\|v-\pi(v)\|^2.$$ Sí, es cierto, $u-\pi(v)\in U$ ya que $U$ es un espacio vectorial y $v-\pi(v)\in U^{\perp}$ Para el último punto, fíjate en eso: $$\pi(v-\pi(v))=0,$$ desde $\pi$ es una proyección lineal, por lo que $v-\pi(v)\in\ker(\pi)=U^{\perp}$ . De ahí el resultado.

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Ya que hablabas de este resultado para espacios vectoriales de funciones, me gustaría dar una aplicación de este tipo.

Dejemos que $V=L^2(\mathbb{T})$ el espacio vectorial de los cuadrados integrables $1$ -funciones periódicas y $U$ su espacio subvectorial formado por los polinomios trigonométricos de grado máximo $n$ . En esta configuración, el resultado de su ejercicio significa que el $n$ -suma parcial de la serie de Fourier de $f$ es el mejor $L^2$ -estimación de $f$ como un polinomio trigonométrico de grado máximo $n$ .