Demostrar la norma $|||u||| = \|u\|_p +\|u\|_q$ equivale a $W^{1,p}$ norma

Question

Dejemos que $I$ sea un intervalo acotado.Sea $u \in W^{1,p}(I)$ para $1\le p\le \infty$ para cualquier $q\in[1,\infty]$ demostrar que $W^{1,p} $ son equivalentes a $$|||u||| = \|u'\|_p + \|u\|_q$$

Mi intento: primero $\|u\|_{W^{1,p}} = (\|u\|_p^p+\|u'\|_p^{p})^{1/p}$ entonces equivale a $\|u\|_p +\|u'\|_p$ por la desigualdad de Holder para $\ell_p$ .

En segundo lugar, utilizamos la incrustación de Sobolev $\|u\|_\infty\le C(\|u\|_p+\|u'\|_p)$ . para cualquier $q$ tenemos $\|u\|_q \le C\|u\|_\infty \le C'(\|u\|_p +\|u'\|_p)$ por lo que $|||u|||\le C(\|u\|_p +\|u'\|_p)$

Sólo hay que demostrar la desigualdad $\|u\|_{W^{1,p}}\le C|||u|||$ entonces

Para ello $$u(t)- u(t_0) = \int^t_{t_0}u'(t)dt$$

entonces $$|u(t)|-|u(t_0)|\le |\int^{t}_{t_0}u'(t)dt|\le \|u'\|_1$$

Por lo tanto, $$|u(t)| \le \|u'\|_1 + |u(t_0)|$$ para todos $t\in I$

Así que tenemos $\|u\|_\infty\le \|u'\|_1 + |u(t_0)|$

Finalmente integrar sobre $t_0$ tenemos $$|I|\|u\|_\infty \le |I|\|u'\|_1 + \|u\|_1$$

Si $|I| \ne 0$ podemos ver $\|u\|_p \le C'\|u\|_\infty \le C(\|u\|_1 + \|u'\|_1)\le C|||u|||$

Como muestra el post de daw sólo podemos cambiar la norma de orden cero $u$ .

Para $\|u'\|_q$ no necesita ser acotado.

Answer 1

Esto es claramente falso:

Si $q>p$ entonces hay funciones en $u\in W^{1,p}$ tal que $u'\not\in L^q$ Así que $|||u|||=+\infty$ pero $\|u\|_{W^{1,p}}<+\infty$ . (Para construir $u$ toma $v\in L^q\setminus L^p$ y establecer $u(x)=\int_0^x v(s)ds$ ).

Si $q<p$ : Toma $u\in W^{1,q} \setminus W^{1,p}$ . Aproximadamente $u$ mediante funciones suaves $u_k \in C_c^\infty$ tal que $u_k \to u$ en $W^{1,q}$ . Entonces $\|u_k\|_{W^{1,q}} \to \|u\|_{W^{1,q}}$ pero $\|u_k\|_{W^{1,p}}\to\infty$ .

Lo que funcionaría es que $|||\cdot|||$ se definiría como $\|u\|_{L^q} + \|u'\|_{L^p}$ .