Es $H_nH_m = G$ si $|G|=nm$ y $H_n, H_m$ son los únicos subgrupos de $G$ de orden $n, m$ respectivamente?

Question

Quiero usar esto y el hecho de que $H_n \cap H_m = \{1\}$ que ya he probado para demostrar que $G \cong H_n \times H_m$

Ya que esto son subgrupos, y son los únicos subgrupos así, $H_n$ y $H_m$ son normales. Entonces $H_n H_m \triangleleft G$ . A continuación, demuestro que $|H_n H_m| \geq nm$ diciendo lo siguiente:

Tengo $n$ posibles elecciones de $h_n \in H_n$ y $m$ posibles elecciones de $h_m \in H_m$ . Entonces, si $|H_n H_m| < nm$ entonces debería ser algo $h_{n_1}, h_{n_2} \in H_n$ y $h_{m_1}, h_{m_2} \in H_m$ tal que $h_{n_1}h_{m_1} = h_{n_2}h_{m_2}$ pero esto no puede ser porque $H_n \cap H_m = \{1\}$ . Entonces $|H_nH_m| \geq nm$ . Trivialmente, $|H_nH_m| \leq nm$ entonces $|H_nH_m|=nm$ así que $G = H_nH_m$ .

¿Es esto correcto?

Answer 1

Su argumento es correcto, pero puede escribirse más claramente de la siguiente manera.

Considere la función $\phi: H_n \times H_m \to G$ dado por $(u,v) \mapsto uv$ .

Entonces $\phi$ es inyectiva porque $H_n \cap H_m = \{1\}$ . De hecho, $u_1 v_1 = u_2 v_2$ implica $u_2^{-1} u_1 = v_2 v_1^{-1} \in H_n \cap H_m = \{1\}$ .

Por lo tanto, $\phi$ es sobreyectiva porque ambos conjuntos tienen el mismo tamaño, $mn$ elementos.

Dado que la imagen de $\phi$ es $H_n H_m$ es igual a $G$ .