Soy un principiante en la teoría ergódica. He leído algunos apuntes de conferencias (como este y este ) sobre ello con la esperanza de poder encontrar algo que ayude a demostrar la ergodicidad de alguna cadena de Markov que tome valores en un espacio de estados general (digamos un espacio polaco).
Aunque he aprendido muchas cosas interesantes, como la aplicación de la teoría ergódica en la teoría de números, no encuentro nada que ayude a resolver mi problema original, es decir, la ergodicidad de la cadena de Markov. Esperaba encontrar algo que diera una condición suficiente y fácil de verificar sobre la ergodicidad del operador de desplazamiento. Pero sólo encuentro tal condición (irreducibilidad) en el caso de la cadena de Markov que toma valores discretos
Entonces, en cuanto al caso de la cadena de Markov que toma valores en un espacio de estados general, me parece que todas las condiciones suficientes existentes para su ergodicidad (como la condición de conjunto pequeño, la condición de deriva) se hacen sin mencionar ningún ajuste abstracto de la teoría ergódica, como en el libro Cadena de Markov y estabilidad estocástica o en este reciente documento. Y es difícil verificar estas condiciones en general.
Así que mis preguntas son:
¿Existe algún resultado en la teoría ergódica que pueda ayudar a establecer fácilmente la ergodicidad de una cadena de Markov general? Mi impresión es que la teoría ergódica es potente y se ha desarrollado durante mucho tiempo, ¿me he perdido algún resultado importante?
Si no existe tal resultado, ¿cuál es la opción más esperanzadora si se necesita demostrar la ergodicidad de la cadena de Markov general? Uno debería quedarse con la teoría ergódica y tratar de encontrar algo aplicable a la cadena de Markov. ¿O uno podría olvidarse por completo de la teoría ergódica y sólo esforzarse por demostrar condiciones de conjuntos pequeños o de deriva en su propio entorno?
Tal vez la respuesta a la segunda pregunta esté basada en la opinión. Pero, por favor, comparta su experiencia conmigo. Soy estudiante de doctorado y me gustaría saber si vale la pena invertir mucho tiempo en una de las direcciones. Si pudieras darme algún consejo relacionado, también te lo agradecería mucho.
Muchas gracias por su ayuda.
Edición para aclarar mi pregunta:
Por "ergodicidad de una cadena de Markov que toma valores en un espacio de estados general", quiero decir que existe una cadena de Markov $(X_n)_{n\geq 1}$ con $X_n \in S$ y $S$ es un espacio polaco, supongamos que $\mu$ es una medida sobre $\mathcal{B}(S)$ y ya sabemos que esta cadena de Markov es invariante con respecto a $\mu$ entonces decir que esta cadena es ergódica significa que tenemos para cualquier $B \in \mathcal{B}(S)$ tenemos $$\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n 1_B(X_n) \to \mu(B) \text{ almost surely}$$ Por teoría ergódica abstracta quiero decir que hay un espacio de medidas $(\Omega, \mathcal{B}, \mu)$ y una transformación que preserva la medida $T: \Omega \to \Omega$ es decir $T^{-1}B \in \mathcal{B}$ y $\mu(T^{-1}B) = \mu(B)$ cuando $T$ es ergódico entonces tenemos teoremas como el teorema ergódico de Birkhoff y muchos otros resultados interesantes. Me gustaría encontrar algunos resultados en este entorno abstracto de manera que la ergodicidad de la cadena de Markov sea una aplicación de los resultados. Pero no encuentro nada en este sentido y todo lo que sé sobre cómo demostrar la ergodicidad de una cadena de Markov general no utiliza resultados de la teoría ergódica abstracta. ¿Es útil la teoría ergódica para demostrar la ergodicidad de la cadena de Markov general?
