Ecuación del lugar complejo: $|z-1|=2|z +1|$

Question

Esta pregunta requiere encontrar la ecuación cartesiana del lugar:

$|z-1| = 2|z+1|$

es decir, donde el módulo de $z -1$ es el doble del módulo de $z+1$

He resuelto este problema algebraicamente (dejando $z=x+iy$ ) de la siguiente manera:

$\sqrt{(x-1)^2 + y^2} = 2\sqrt{(x+1)^2 + y^2}$

$(x-1)^2 + y^2 = 4\big((x+1)^2 + y^2\big)$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 4x^2 + 8x + 4 + 4y^2$

$3x^2 + 10x + 3y^2 = -3$

$x^2 + \frac{10}{3}x + y^2 = -1$

$(x + \frac{5}{3})^2 +y^2 = -1 + \frac{25}{9}$

por lo tanto, $(x+\frac{5}{3})^2 + y^2 = \frac{16}{9}$ que es un círculo.

Sin embargo, Me preguntaba si existe un método, simplemente por inspección, para concluir inmediatamente que el lugar es un círculo, basado en alguna relación entre la distancia de $z$ a $(1,0)$ en el plano siendo el doble de la distancia de $z$ a $(-1,0)$ ?

Answer 1

Ver el punto $z$ como un vector en $\mathbb R^2$ . Sin hacer ningún cálculo, sabemos que $\lVert z - (1,0) \rVert^2$ y $\lVert z - (-1,0) \rVert^2$ son de la forma $z^Tz + b^T z + c$ para algunos $b$ y $c$ . Por lo tanto, la ecuación del lugar es $$(z^Tz + b_1^Tz + c_1) = 4(z^Tz + b_2^Tz + c_2),$$ o $$3z^Tz + b_3^Tz + c_3 = 0,$$ que es la ecuación de un círculo.

En general, la forma $x^TAx + b^Tx + c$ define una cuádrica, y si sabes algo sobre las propiedades de la matriz $A$ puede decirte cuál es la forma de la cuádrica. En este caso, $A$ es un múltiplo de la identidad, por lo que es un círculo/esfera/hiperesfera.

Answer 2

Una manera quizás más fácil de ver que es un círculo es reescribir como

$\displaystyle |z'| = 2|z' + 2|, \text{where } z' = z -1$

Y así

$\displaystyle 1/4 = |1/2 + 1/z'|$

Así, $\displaystyle \frac{1}{z'}$ da un círculo centrado en $(-1/2,0)$ y el radio $1/4$ .

Como podemos ver en las respuestas y comentarios a esta reciente pregunta: Propiedad de los números complejos que, el mapa $\displaystyle z \to \frac{1}{z}$ mapea círculos a círculos, si el círculo no pasa por el origen.

En este caso, no pasa por el origen, por lo que la curva original que buscas sería también una circunferencia.

Por supuesto, el hecho de que $\displaystyle z \to \frac{1}{\bar{z}}$ es la inversión con respecto al círculo unitario probablemente utiliza el teorema de Appollonius, pero parece un hecho útil a tener en cuenta.

Answer 3

En primer lugar, puede ser útil volver atrás y echar un vistazo a esto pregunta anterior de la suya y la respuesta a la misma. Se discutió el concepto de electrófilos y nucleófilos duros y blandos. Básicamente, se dijo que

Los nucleófilos duros son generalmente átomos pequeños y muy cargados. Porque esto, tienden a ser más reactivos. Prefieren reaccionar con electrófilos similares (duros). Sus reacciones suelen ser cinéticamente controladas cinéticamente con estados de transición tempranos y se rigen por interacciones electrostáticas. Los nucleófilos blandos son generalmente sistemas con una carga más difusa. Por ello, tienden a ser menos reactivos (más discriminantes). Prefieren reaccionar con electrófilos similares (blandos) similares.

La conclusión es que un electrófilo duro prefiere reaccionar con un nucleófilo duro, mientras que un electrófilo blando prefiere reaccionar con un nucleófilo blando.

Examinemos el sistema que nos ocupa, el nucleófilo es el anión hidroperóxido ( $\ce{HOO^{-}}$ ). Puedes dibujar dos estructuras de resonancia para describir el anión, deslocalizando la carga negativa sobre ambos oxígenos.

$$\ce{H-O-O^{-} <-> H^{+}~ [O-O]^{-2}}$$

Por lo tanto, este anión es un nucleófilo más suave que $\ce{HO^{-}}$

El grupo carbonilo es un electrófilo duro, mientras que un $\ce{\alpha,\beta}$ El carbonilo insaturado, cuya densidad de electrones se distribuye en 4 átomos, es un electrófilo más suave.

Lo blando reacciona con lo blando, por lo que se esperaría que el anión hidroperóxido blando reaccionara preferentemente con un anión duro (carbonilo; adición 1,2) o blando ( $\ce{\alpha,\beta}$ carbonilo insaturado; adición de 1,4) electrófilo?