Elementos invertibles y elemento de identidad en $\mathbb Z_6$ bajo el producto circular

Question

Definamos la operación $\odot$ en $\mathbb Z_{6}$ de la siguiente manera:

$$\begin{aligned}x\odot y=x+y+xy\end{aligned}$$

Espectáculo:

• $(\mathbb Z_6, \odot)$ es un monoide;
• si $3 \in \mathbb Z_6$ es un elemento invertible, si es así utilice una ecuación congruente apropiada para determinar su elemento invertible;
• definen todos los elementos invertibles en $\mathbb Z_6$ .

He empezado a probar primero los dos últimos puntos. El elemento $3$ no es un elemento invertible en $\mathbb Z_6$ porque $gcd(3,6) \neq 1$ .

Para definir todos los elementos invertibles en $\mathbb Z_6$ Pensé que bastaría con enumerar todos los elementos $[a] \in \mathbb Z_6 : gcd(a,6)=1$ . Así que concluí que todos los elementos invertibles en $\mathbb Z_6$ son:

$$\begin{aligned}\{1+6k:k\in\mathbb Z\} = 1+6 \mathbb Z\end{aligned}$$ y $$\begin{aligned}\{5+6k:k\in\mathbb Z\} = 5+6 \mathbb Z\end{aligned}$$

Para demostrar $(\mathbb Z_6, \odot)$ sea un monoide, requerimos que $\odot$ para ser asociativo y $\exists \mathbb 1_{\mathbb Z_{6}} : x \odot \mathbb 1_{\mathbb Z_{6}} = \mathbb 1_{\mathbb Z_{6}} \odot x = x$

Asociatividad

$$\begin{aligned}(a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}(a+b+ab) \odot c = a \odot (b+c+bc)\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}a+b+ab+c+ac+bc+abc = a+b+c+bc+ab+ac+abc\end{aligned}$$

Y el punto queda demostrado.

Elemento de identidad

$$\begin{aligned}a \odot \mathbb 1_{\mathbb Z_{6}} = a\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}1_{\mathbb Z_{6}} + a1_{\mathbb Z_{6}} = 0 \end{aligned}$$

... y ahora estoy atascado porque no sé cómo proceder para evaluar $1_{\mathbb Z_{6}}$ .

¿Es correcto afirmar $1_{\mathbb Z_{6}} + a1_{\mathbb Z_{6}} = 0 \Rightarrow a1_{\mathbb Z_{6}} = 0$ ? ¿Cómo lo hago a partir de ahora?

Answer 1

Primero, su problema en particular.

No debe responder primero a la segunda pregunta. Su respuesta supone que está hablando de la habitual estructura multiplicativa de $\mathbb{Z}_6$ pero no es el caso. Una vez que se demuestra que $(\mathbb{Z},\odot)$ es un monoide, la pregunta te pide que determines si $3$ es invertible en relación con la operación $\odot$ . Por lo tanto, la comprobación de si $\gcd(3,6)=1$ puede que no te sirva de nada. Del mismo modo, la tercera pregunta no le pide realmente que encuentre los elementos de $\mathbb{Z}_6$ que son invertibles bajo la habitual multiplicación, sino encontrar los elementos que son invertibles en relación con la operación $\odot$ . Así que has respondido correctamente a un diferentes pregunta de lo que se le está preguntando, y respondió incorrectamente a la pregunta que realmente preguntó.

Entonces, hablemos de $\odot$ .

Ha demostrado que $\odot$ es asociativo, lo que significa que $(\mathbb{Z}_6,\odot)$ es un semigrupo. Para demostrar que es un monoide, hay que encontrar algún elemento $z$ de $\mathbb{Z}_6$ con la propiedad de que $a\odot z=z\odot a = a$ para todos $a$ . Así que necesitas $$a = a\odot z = a+z+az.$$ Por lo tanto, necesitamos $a=a+z+az$ , lo que significa que $0=z+az = z(1+a)$ . Esto tiene que ser así para cada $a\in\mathbb{Z}_6$ . Entonces... ¿qué debe $z$ ¿ser?

(Tenga en cuenta que como $b\odot a = b+a+ba = a+b+ab=a\odot b$ De hecho, puede ahorrarse un poco de trabajo; en realidad no necesita comprobar que $z\odot a= a$ también se mantiene).

Una vez que determine qué $z$ es, la segunda parte de la pregunta te pide que determines si existe $a\in\mathbb{Z}_6$ tal que $3\odot a = z$ .

Por último, el problema te pide que averigües todos los elementos $a\in\mathbb{Z}_6$ con la propiedad de que existe $b\in\mathbb{Z}_6$ tal que $a\odot b = z$ .

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Ahora, comentarios generales. No lea esto hasta que no intente resolver el problema como se indica más arriba.

La operación de la que hablas se conoce como "operación círculo" (a veces se define como $x\odot y = x+y-xy$ (en cuyo caso, algunos de los signos de ventaja que aparecen a continuación deben convertirse en desventajas, y viceversa). En un anillo, los elementos que son invertibles bajo la operación del círculo se conocen como "cuasi-unidades", y el grupo de cuasi-unidades del anillo se conoce como el "grupo del círculo" del anillo. (La asociatividad de la operación círculo garantiza que si $x$ y $y$ son cuasi-unidades, entonces también lo es $x\odot y$ ).

Si $R$ es un anillo, la identidad del $\odot$ La operación es $0_R$ ya que $x\odot 0_R = x+0_R + x0_r = x$ y $0_R\odot x = 0_R + x + 0_Rx = x$ . Si $R$ es conmutativo, entonces el monoide del círculo $(R,\odot)$ es conmutativo.

Cuando $R$ tiene una identidad multiplicativa, $1_R$ entonces el grupo de círculos del anillo es isomorfo al grupo de unidades de $R$ por el mapa $x\mapsto 1_R+x$ .

De hecho, si $x$ es cuasi-invertible, entonces existe $y$ tal que $x\odot y = 0_R$ (y $y\odot x = 0_R$ cuando no asumimos $R$ es conmutativo). Entonces $x+y+xy=0_R$ Así que $$(1_R+x)(1_R+y) = 1_R + x + y + xy = 1_R.$$

Por el contrario, si $z$ es una unidad en $R$ entonces existe $w$ tal que $zw=1_R$ . Entonces $$(z-1_R)\odot(w-1_R) = (z-1_R)+(w-1_R) + (z-1_R)(w-1_R) = z+w-1_R-1_R+zw - z-w-1_R = 0_R$$ así que $z-1_R$ es una cuasi-unidad. Por lo tanto, el mapa es una biyección entre cuasi unidades y unidades.

Por último, hay que tener en cuenta que $x\odot y + 1_R = x+y+xy+1_R$ y $(x+1_R)(y+1_R) = xy +x+y+1_R$ por lo que el mapa es un homomorfismo de grupo.