$X^{\ast}$ reflexivo pero no $X$

Question

Dejemos que $X$ un espacio vectorial normado que no es Banach. Es cierto que si $X$ es reflexivo, entonces $X^{\ast}$ es reflexivo. Pero, ¿y lo contrario?

Si $X$ fuera un espacio de Banach entonces se seguirá, pero si no es el caso, ¿hay algún ejemplo?

Answer 1

Un espacio reflexivo es completo. Tomemos un subespacio denso y propio (por tanto, incompleto) $X$ de un espacio reflexivo $Y$ . Entonces $X^*\cong Y^*$ es reflexivo pero $X$ no lo es.