Salida de la prueba de proporción R

Question

Hay dos poblaciones en dos lugares diferentes. Sitio 1: 15 gecos machos de un total de 20 y Sitio 2: 12 machos de 24.

> x <- c(15,12)
> n <- c(20,24)
> prop.test(x,n)

        2-sample test for equality of proportions with continuity correction

data:  x out of n
X-squared = 1.918, df = 1, p-value = 0.1661
alternative hypothesis: two.sided
95 percent confidence interval:
 -0.07156667  0.57156667
sample estimates:
prop 1 prop 2 
  0.75   0.50 

Entiendo que no puedo rechazar la hipótesis nula de igualdad de proporciones. ¿Qué significa X-squared = 1.918 ¿me lo dice? ¿Qué me dice exactamente el intervalo de confianza?

Answer 1

El $\chi^2$ es la estadística de prueba que mide cuánto se desvían las desviaciones al cuadrado de los recuentos en su fecha esperado normalizados al valor esperado. Para tener una idea clara de los valores esperados, vale la pena construir una tabla de contingencia con marginales como ésta:

              SITE
GENDER        Site 1      Site 2     TOTALS
  males       15          12         27
  females      5          12         17
  TOTALS      20          24         44

Los valores esperados son:

              SITE
GENDER        Site 1                   Site 2                     TOTALS
  males       20 * 27 / 44 = 12.27     24 * 27 /44 = 14.73        27
  females     20 * 17 / 44 =  7.73     24 * 17 /44 =  9.27        17
  TOTALS      20                       24                         44

El $\chi^2$ se calculará, por tanto, como:

$\chi^2 = \frac{(15 - 12.3)^2}{12.3}+\frac{(12 - 14.7)^2}{14.7}+\frac{(5 - 7.7)^2}{7.7}+\frac{(12 - 9.3)^2}{9.3} = 2.88$ . Este valor difiere del que usted calculó debido a la corrección de continuidad. Si vuelves a hacer el cálculo sin corrección, es decir prop.test(x, n, correct = F) the X-squared = 2.8758 .

La intuición es que si las desviaciones de lo esperado siguen una distribución normal $X \sim N(0, 1)$ (estamos normalizando por dividiendo por la varianza, que coincide con el valor esperado ), sus valores al cuadrado seguirán una $\chi^2_{df=1}$ y en general $\chi^2$ es la distribución resultante de elevar al cuadrado una variable con distribución normal.

El intervalo de confianza indica que si la diferencia entre las proporciones observadas es 0.75 - 0.50 = 0.25 (ver la última línea de su salida), si repitiéramos el experimento $100$ veces los valores observados oscilarían entre -0.07156667 0.57156667 y sólo en $5\%$ de las instancias serían más extremas. Dado que este intervalo incluye el número $0$ La posibilidad de que no haya diferencias entre las proporciones está perfectamente dentro de este IC calculado.