Encontrar el valor de $a$ para lo cual este $2\times2$ el sistema no tiene una solución única

Question

El sistema de ecuaciones lineales que sigue tiene una solución única para todos los valores de $a$ :

$\begin{align} 4 x - 4 y = 8 \\ 34 x + ay = 68 \\ \end{align}$

¿Qué es este valor excepcional para $a$ ?

No sé ni por dónde empezar. Gracias de antemano.

Answer 1

A = -34

Si A es -34, la segunda ecuación es 34x - 34y = 68 o x - y = 2

Su primera ecuación es 4x - 4y = 8 o x - y = 2

Esto hace que estas ecuaciones sean iguales.. por lo tanto se superpondrán y tendrán infinitas soluciones

Answer 2

Una pista: $\text{det}A = 0$ con $A = \begin{bmatrix} 4 & -4\\ 34 & a \\ \end{bmatrix}$ ,

y en general, si podemos expresar un sistema de $n$ ecuaciones lineales en $n$ variables de la forma $AX = B$ entonces el sistema no tendrá una solución única si $A$ no es invertible, y esto significa que $\text{det}A = 0$ .

Answer 3

Por eliminación gaussiana tenemos

$$\begin{pmatrix}4 & -4 & |& 8 \\ 34 & a & | & 68\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}4 & -4 & | & 8 \\ 0 & a+34 & | & 0\end{pmatrix}$$

Si $a+34\neq 0$ entonces el sistema sólo tiene una solución. Para $a+34=0$ hay infinidad de soluciones.

Answer 4

Reescribe la primera ecuación como: $$4x-4y=8\quad\Longrightarrow\quad x = 2+y.$$ Sustituye esto en la segunda ecuación: $$34(2+y)+ay=68\quad\Longrightarrow\quad (34+a)y=0.$$ Si $(34+a)\neq0$ entonces $y=0$ y $x=2$ es la única solución. Sin embargo, si $(34+a)=0$ , $y$ puede ser cualquier cosa, de modo que hay un número infinito de soluciones. Esto último ocurre cuando $=-34$ .

Answer 5

Como sabrás, la ecuación lineal es la ecuación del lugar geométrico de una recta. La solución de dos ecuaciones lineales es esencialmente el punto de intersección de las rectas. Para que no haya soluciones, las rectas nunca deben intersecarse y ser paralelas. Matemáticamente esto significa que: $$\frac{4}{34}=\frac{-4}{a}$$$$ a=-34$$