Son $f,g$ Lipschitz si hay $K\geq 0$ s.t. $d(f(x) , f(y)) + d(g(x), g(y)) \leq K d'(x,y)$ para todos $x,y$ ?

Question

Supongamos que $f,g : X \to Y$ son funciones entre espacios métricos. Supongamos que existe $K \geq 0$ tal que $d_Y(f(x) , f(y)) + d_Y(g(x), g(y)) \leq K d_X(x,y)$ para todos $x,y \in X$ . ¿Significa esto que $f,g$ debe ser Lipschitz? Si es así, ¿cuál es la forma más fácil de verlo?

EDIT: He cambiado un signo, esto altera la pregunta por completo. Pero ahora se lee correctamente.

Answer 1

No. Toma $f$ cualquier función no-Lipschitz, y tomar $g = f$ .

Editar: La respuesta a la pregunta corregida, ya dada en los comentarios de @orangeskid, es sí: si $d(f(x), f(y)) + d(g(x), g(y)) \leq K d(x,y)$ entonces a fortiori ya que las métricas son no negativas, $d(f(x), f(y))\leq K d(x,y)$ Así que $f$ es Lipschitz. Lo mismo ocurre, por supuesto, con $g$ .