Definición de integral de Lebesgue

Question

En clase hemos definido la integral de Lebesgue para una función medible no negativa $f$ como $ \int_E fd\mu=sup\{\int_E\phi d\mu \mid0< \phi\ <f$ donde $\phi$ son funciones simples $ \}$ . Y luego definimos que $f$ es integrable de Lebesgue si su integral de Lebesgue es finita. Lo que me molesta de esta definición es qué pasa con las "integrales de Lebesgue superiores", es decir, qué pasa si consideramos $inf\{\int_E\phi d\mu \mid0< f<\phi\ $ donde $\phi$ son funciones simples $ \}$ ¿será finito si lo es el primero? ¿son los dos iguales? Yo esperaría que las funciones integrables de Lebesgue fueran aquellas funciones en las que las dos definiciones de integral de Lebesgue coinciden y son finitas.

¿Puede alguien ayudarme a entender lo que está pasando?

Gracias de antemano

Answer 1

Considere $f(x) = e^{-x}\mathbb 1_{x>0}$ . Esta es una función acotada con decaimiento exponencial, por lo que se quiere decir que tiene integral finita, pero cualquier función simple que satisfaga $\phi > f$ tomará un valor positivo constante en algún conjunto de medida infinita.

Incluso en conjuntos acotados, funciones como $\frac1{\sqrt x} \in L^1([0,1])$ causar un problema. Aquí, debe haber un conjunto de medidas positivas para las que $\phi$ toma el valor $\infty$ .

Answer 2

Si $f$ es un limitado en un conjunto $E$ de finito medida, entonces las integrales superiores e inferiores de Lebesgue son finitas.

Dada cualquier función simple $\phi$ y $\psi$ (que por definición están acotados) en $E$ tal que $\phi \leqslant f \leqslant\psi$ sus integrales de Lebesgue siempre existen y por monotonicidad de integrales para funciones simples tenemos

$$\int_E \phi \leqslant \int_E \psi$$

Se deduce que el sumo (integral inferior) y el ínfimo (integral superior) de estas integrales son finitos con

$$\sup_{\phi \leqslant f} \int_E \phi \leqslant \inf_{\psi \geqslant f}\int_E \psi$$

Cuando las integrales inferior y superior son iguales, $f$ se dice que es integrable de Lebesgue donde la integral es el valor común.

La integral superior se descarta al definir la integral de Lebesgue de una función no negativa, medible y potencialmente no limitada $f$ en un conjunto de medidas potencialmente infinitas $E$ . Sin embargo, tanto la integral superior como la inferior juegan un papel en la definición de la integral de Lebesgue de cualquier función medible acotada $g$ con soporte finito donde $0 \leqslant g \leqslant f$ . Esto se utiliza para construir la integral de $f$ como

$$\int_E f = \sup \left\{\int_E g \, |\, g \text{ bounded, measurable, of finite support and } 0 \leqslant g \leqslant f \right\}.$$

Como alternativa, puede utilizar su definición en términos de funciones simples $\phi \leqslant f$ .