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Curvatura media de una superficie reglada en $\mathbb{R}^3$

Intentaba demostrar que las superficies no compactas con media constante y curvatura gaussiana en $\mathbb R^3$ son parte de planos o cilindros. Así es como he resuelto el problema hasta ahora,

En primer lugar, he demostrado que la curvatura gaussiana debe ser cero, es decir $K=0$ ,

Luego utilicé el hecho de que la superficie será desarrollable y, por tanto, en este caso una superficie reglada. Consideré una parametrización $x(u,v)=\beta(u)+v\delta(u)$ de la superficie, sé que la curvatura gaussiana en este caso viene dada por $K=\frac{-M^2}{EG-F^2}$ lo que implicará que $M=0$ ¿Puede alguien mostrarme cómo calcular explícitamente $H$ en este caso? y ¿cómo puedo utilizar el hecho de que $H$ es constante para demostrar que $\gamma'(u)=0$ que demostrará que es un cilindro.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Esto es lo que pienso, ya que $H=\frac{EN-2FM+GL}{2(EG-F^2)}$ en general, y en este caso, $N=0$ Me quedaré sólo con $H=\frac{LG}{2(EG-F^2)}$ , para $H$ para ser constante, $L$ , $G$ y $EG-F^2$ debe ser constante. ¿Cómo puedo obtener más información desde aquí?

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Narasimham Puntos 7596

Puede ser relevante examinar los argumentos aquí procedentes de las curvaturas escalares.

En términos de curvaturas principales $ k_1,k_2 $ cuando H y K son ambos constante,

$$ k_1 + k_2 = 2 H , k_1 k_2 = K $$ resolver,

$$ k_1 = 1/a, k_2 = 1/b $$ donde $a,b$ son constantes.

Para entender esto en el caso de superficies de revolución :

Son

1) Toroides,Esferas ( $ k_1 = const $ ) y,

2) Casos especiales de Superficies Weingarten donde $ \dfrac {k_1}{k_2} = const. $

Los ejemplos son las esferas, los cicloides y el caso especial de Elastica con meridional

tangente son normales al eje de simetría.

3) Superficie mínima.

Aplicación de la regla del cociente,

$$ k_2= const. = \dfrac{\cos \phi }{r} = \dfrac {-\sin \phi\; k_1} {\sin \phi} = -k_1 $$

o,

$$ k_1 + k_2 = 2 H =0 $$

que es una superficie mínima catenoide, $ r/c = \cosh(z/c) $ un caso excepcional para una superficie reglada.

Pero hay que tener en cuenta que no son superficies regladas en general ni pertenecen sólo a $K=0$ clase de superficies desarrollables (conos, helicoides desarrollables).

EDIT1:

Hay algo desconcertante en tomar $ K and H $ independiente sin embargo, lo mencionará.

Para una superficie de revolución $ \tan\phi = \frac{dr}{dz} $

Dejemos que $$ R_1 = 1/k_1, R_2= 1/k_2 $$

Se puede comprobar que

$$ \dfrac{d R_2}{d\cos\phi} =- (R_1+R_2) $$

por lo que no son realmente independientes.

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