Problema de meseta generalizado con límite no jordano

Question

Dejemos que $C_\pm$ sean las dos circunferencias obtenidas por la intersección del cilindro $x^2+y^2=R^2$ con los aviones $z=\pm 1$ en el que marcamos cuatro puntos $A_\pm:(R,0,\pm 1)$ y $B_\pm:(-R,0,\pm 1)$ . Supongamos que $R$ es lo suficientemente grande como para que la superficie mínima entre $C_\pm$ es un catenoide.

Quiero encontrar una superficie mínima de tipo disco $f:D \to \mathbb{R}^3$ tal que $\partial D$ se asigna a la curva $\gamma$ de la siguiente manera: $\gamma$ comienza a partir de $A_+$ , y luego alrededor de $C_+$ por $+3\pi$ (en el sentido de las agujas del reloj) a $B_+$ y luego directamente a $B_-$ , alrededor de $C_-$ por $-3\pi$ (en sentido contrario a las agujas del reloj) a $A_-$ , por último, directamente de vuelta a $A_+$ .

Esta curva no es una curva de Jordan. Me pregunto si hay algún resultado sobre el "problema de la meseta" con este tipo de frontera.

Answer 1

El documento siguiente muestra que se puede encontrar un área mínima que abarque cualquier curva rectificable. Sin embargo, a veces el disco no está inmerso, como ocurre con un disco que delimita una figura 8 en el plano.

J. Hass, Singular curves and the Plateau problem, International J. of Math. 2, (1991) 1-16.

Para su ejemplo, hay una construcción más directa de un disco mínimo con límite $\gamma$ que da un disco que está sumergido. Se supone que un catenoide abarca $C_+$ y $C_-$ . La unión de este catenoide y el cilindro entre $C_+$ y $C_-$ es un toro que limita un toro sólido. La frontera de este toro sólido suave a trozos tiene una curvatura media que apunta al toro sólido (o al menos nunca sale de él) y los ángulos en las curvas donde se cruzan las dos superficies son menores que $\pi$ . Esta condición de contorno "convexo medio" es suficiente para permitir que la solución clásica del problema de Plateau se resuelva para curvas simples, como se muestra en los trabajos de Meeks Yau -véase "Topology of Three Dimensional Manifolds and the Embedding Problems in Minimal Surface Theory" William H. Meeks y Shing-Tung Yau, Annals of Mathematics, Vol. 112, No. 3 (Nov., 1980), pp. 441-484.

Ahora su curva no está incrustada en la frontera del toro sólido, sino que la curva se eleva a una curva incrustada en una cubierta doble del toro sólido. Resuelve allí el problema de la meseta (usando la métrica inducida, también convexa media) y proyecta para obtener un disco mínimo.

Para los grandes $R$ este será el disco de menor superficie que abarque $\gamma$ . Se mantiene cerca del cilindro. Para los pequeños $R$ Creo que puede haber un disco más pequeño que atraviesa el eje.