$\lim_{n\to\infty} d^{-n}e^{o(n)}, d>1$

Question

Creo que es una pregunta bastante tonta, pero tengo algunos problemas para decir definitivamente lo que $$\lim_{n\to\infty}d^{-n}e^{o(n)}$$ es, donde $d>1$ .

Por supuesto, $d^{-n}\to 0$ como $n\to\infty$ .

¿Es cierto que $$\lim_{n\to\infty}e^{o(n)}<\infty,$$ (es decir, el límite existe y es, digamos, $c<\infty$ ), ya que para grandes n $$e^{o(n)}<e^n?$$ Si es así, entonces puedo calcular el límite como el producto de los límites, obteniendo $$\lim_{n\to\infty}d^{-n}e^{o(n)}=\lim_{n\to\infty}d^{-n}\cdot\lim_{n\to\infty}e^{o(n)}=0\cdot c=0.$$

Answer 1

No, eso no es necesariamente cierto, ya que el exponente también puede divergir hasta el infinito. Tomemos por ejemplo $\log n$ o $\sqrt n$ .

Prueba lo siguiente:

$$\begin{align} d^{-n}e^{o(n)} &= e^{-n\log d}e^{o(n)}\\ &= e^{-n\log d+o(n)} \\ &= e^{-n(\log d-o(n)/n)} \\ \end{align}$$

Y recuerda que $o(n)/n\to0$ . Intenta continuar desde aquí.