Argumento de conteo de Sylow; demostrar que G es isomorfo al producto directo.

Question

Sea G un grupo de orden $|G|=pq^m$ , donde $p$ y $q$ son primos con $q^m<p$ .

i) Utilice un argumento de recuento de Sylow para demostrar que $G\cong C_p\rtimes_hQ$ donde Q es un grupo con $|Q|=q^m$ y $h:Q\rightarrow Aut(C_p)$ es un homomorfismo.

ii) Demuestre además que si $q^m$ es coprima de $p-1$ entonces $G\cong C_p\times Q$ .

He hecho i), pero no sé cómo hacer ii). Creo que tengo que demostrar que si $q^m$ es coprima de $p-1$ entonces el homomorfismo es el trivial, aunque no estoy seguro de cómo hacerlo. ¿O podría intentar demostrar que Q es entonces también normal en G y por lo tanto el producto semidirecto se reduce a un producto directo? Se agradece la ayuda.

Answer 1

Dejemos que $x \in Q$ .

El orden de $h(x)$ divide el orden de $x$ por lo tanto, divide $q^m$ .

Pero $h(x) \in Aut(C_p) \cong C_{p-1}$ por lo que el orden de $h(x)$ también divide $p-1$ .

Si $q^m$ y $p-1$ son coprimas, deducimos que el orden de $h(x)$ es $1$ para cualquier $x$ . Esto significa que $h$ es trivial, por lo que el producto semidirecto es en realidad un producto directo.